数学建模思想在小学数学教学中的应用研究

  一、 问题提出

  2l 世纪之初，我国第八次基础教育课程改革开始。此次课程改革是历次课程改革的延续，也是课程完善过程的一个阶段。它不仅是顺应国际课程改革大趋势的必然要求，而且是积极推进素质教育的需要。2011 年 12 月 28 日，教育部印发了义务教育数学课程标准，即 2011 版小学数学课程标准。该数学标准指出发展模型思想已成为小学数学的学习目标之一。同时指出“在课程设计思路的设计，在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式。”在现代社会，数学早已经成为每位公民所必备的基本素养之一，也是学校教育的每个阶段所必备的基础学科。D.A.格劳斯在其主编的《数学教与学研究手册》说“人们在从数据到演绎再到应用这个周而复始的周期中运用着数学”。现代社会的数学，远非只是算数和几何，而是由许多部分所组成的一门学科。它处理各种数据、度量和科学观察；进行推理、演绎和证明；形成各种关于自然现象、人类行为和社会体系的人类模型。数学建模即构建数学模型。“人们从实际中提炼数学问题，抽象为数学建模思想，从这个意义上，我们可以把数学看做是一种技术或一种模型”。人们通过构建数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。数学建模思想即构建数学模型的意识与方法。近年来，伴随着应用数学的兴起，数学建模已经成为国内外数学教育界所研究的热门话题之一。但是目前研究者对数学建模思想的认识主要集中在高等教育领域中，对义务教育阶段数学建模思想的相关研究很少。当前，很多小学数学老师是初次接触模型思想，对于怎样在日常教学中渗透建模思想，培养学生的建模意识，提高学生的建模能力并不清楚。所以研究者将对小学数学模型思想进行研究。以期建立一套较完整的小学数学建模思想理论与实践体系，希望能对广大一线教学者提供方法上的引导。本论文研究的问题是：小学数学教师是否有意识的在教学中渗透建模思想？在渗透建模思想的教学过程中存在着什么问题？小学教师应该怎样渗透建模思想，提高学生的建模能力？

  一、数学建模

  2011 版基础教育课程标准中指出，建立和求解模型的过程包括：“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。”刘振航主编的《数学模型》中认为，面对实际生活中杂乱无章的现象，从中抽象出恰当的数学关系，组建这个问题的数学模型的过程就是数学建模。李明振在《数学建模的认知机制及其教学策略研究》指出“数学建模是分析实际问题中的复杂现象，发现其中可以用数学语言来描述的关系或规律，从中抽象出恰当的数学关系，将这个实际问题化成一个数学问题，并运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题作出解释的过程。”张奠宙教授认为，广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。但是，按通行的比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫做数学模型。例如，平均分派物品的数学模型是分数；元角分的计算模型是小数的运算；500 人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型就是抽屉原理。有数学模型就有数学建模，综上所述，数学建模即在问题情境中或现实生活中抽象出反应特定的具体事物系统的数学关系结构才叫做数学建模。它既包括模型的探索即从现象中抽象出数学关系的过程，也包括对建立的模型的考察与检验，可以分为分析现实问题——提取数学信息——建立模型——求解模型——验证模型——应用模型六个步骤。在小学数学阶段，数学建模主要是从实际生活中抽象出概念、命题、法则、定理的过程。

  二、数学建模思想

  著名学者史宁中认为“数学发展所依赖的思想在本质上有三个；抽象、推理、模型……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立与外部世界的联系。”从数学的产生，数学内部发展，数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。周艳同样认为，数学建模思想即用数学的语言描述现实世界，也就是让数学走出数学世界，构建数学与现实世界的联系与桥梁的意思。刘勋达从主观和客观两个角度来理解建模思想。从主观上讲，建模思想即建立并求解模型的意识与观念，是学生应该培养的数学素质；从客观上讲，建模思想即建立和求解模型的方法与策略，是学生应该掌握的一种数学思想方法。华中师范大学硕士徐礼刚将数学建模思想定义为通过对问题的信息进行提炼和抽取，从而利用数学语言对其进行描述的一种思想方法。综上所述，数学建模思想，是指通过对现实生活中的问题或情境进行抽象，建立数学模型，并运用数学模型解决类似问题的方法策略与意识观念。有数学建模的地方，就有数学建模思想。如果把小学数学中的概念、命题、法则、定理等看做是数学模型的话，那么在建立这些概念、命题、法则、定理并且运用它们的过程中就包含着数学建模思想。在小学，数学建模思想最终体现在教学内容及其教学过程中。自 2014 年起，研究者所在学校开始采用新版小学数学教科书进行教学。研究者结合自己的教学实践与观察，对 2014 版人教版小学数学教材中每一个册可抽象为数学模型，进行建模教学的教学内容进行了梳理，主要分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个板块。

  数学模型的求解能力主要是指运算能力，《数学辞海》对运算能力的定义为“数学能力的基本组成部分之一，它是指运用有关运算的知识进行运算、推理求得运算结果的能力。”小学生的运算能力主要体现在正确进行加、减、乘、除四种运算上。从研究者三年级学生模型理解与应用能力统计图中可以看出，学生在应用模型及其变形的过程中总会出现计算错误、抄错数字的情况，导致模型运用失败。数的运算内容贯穿于整个小学阶段，是小学阶段数学学习中分量较重、占用时间最多的内容，提高小学生运算能力必须引起小学数学教室的重视。首先，教师要引导学生养成良好的计算习惯，包括综合运用口算、估算、笔算等多样化的算法，仔细认真，避免出现抄错数字等不必要的错误以及自觉验算等。其次，教师要讲清算理。学生只有理解运算的道理才能够更好地记忆并运用各种运算方法、法则进行运算。例如中间是 0 的减法，203-199，学生掌握了个位不够减向十位借 1，十位上是 0 只能向百位借 1，然后十位变成 10 再借给个位 1 的算理，就很容易计算此类算式了。最后，在日常教学中加强训练。研究者在观察该老师教学过程时发现，该老师每节课都会让学生做一些口算、估算练习，并逐步增加难度来提高学生的运算能力。严琼也在《促进小学生运算能力提升的实验研究》中通过实验证明:“在平时的数学课堂上进行短时间小题量的训练能够提升小学生数学运算的速度与正确率，进而对提升数学能力做出较大贡献。适当的训练对运算能力的提升明显，不论是上速度还是正确率上，少量多次的训练方式对正确率的提升尤为明显。”