数学符号的意义及其习得能力的培养研究

  本篇论文是一篇数学硕士论文范文，日常语境下，数学符号是专门用来传达数学信息的特殊符号，不能涵盖数学教学中的所有符号。因此，根据数学教学需要，本部分先对数学符号进行内涵界定，然后再探讨数学符号意义结构。在教学活动中，任何符号都以结构的形式存在，并且总是处于一个更大的符号结构中。当一个符号受到刺激时会同时激活相关联的符号，并通过相关联的符号激活更多的符号。所有被激活的关联符号统称为这个符号的意义。因此，本研究中所说的符号意义不是指符号的内在表征，而是指符号的外在表征，而且是与符号相关联的所有符号的外在表征，这些外在表征关联在一起构成了符号的意义结构。探讨符号意义不在局限于知道符号指代什么，而是探讨符号意味着什么或由符号联想到什么。

  1.1  问题提出

  本研究主要探讨如何根据数学符号的形式特征建构多元意义结构，对数学知识进行“精细加工”的问题。该问题的提出主要基于数学教学实践中普遍存在的两个现实问题及对问题的反思。新《数学课程标准》中倡导的现代教学理念无法落实到教学实践中2011年版的九年义务教育《数学课程标准》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”这些先进的教学理念在实践中却遇到了诸多困难。首先，教师不知道如何实践这些先进教学理念。《数学课程标准》中虽然举例说明了教师应该如何将基本教学理念转化为教学行为，提出了一些基本要求和原则，却没有提供具体的教学模式和教学方法，教师们仍然感到“无法可依”。其次，教师不敢实践这些先进教学理念。因为现代教学理念和方法与当前的教学评价标准和制度存在冲突，而教师之间的竞争十分激烈，为了自己的荣誉和利益，教师不敢冒险尝试新的教学方法。最后，师生不具备实践现代教学理念的能力和水平。广大师生已经习惯了传统教学法，除了几个自学能力比较强的学生外，大部分学生理解教师讲授的内容都存在一定的困难，又如何与教师进行实质性的互动呢!师生双方都不知道应该怎样互动。如果学生不能基于自己的理解提出问题，那么学生在互动中必然处于被动地位，也就无法进行富于个性的学习活动。随着由知识教育向能力教育的转向，数学考试越来越强调对学生数学能力的考察，传统的“系统讲授+题海战术”的教学方法越来越难以提高学生的考试成绩，具体表现为三个方面：(1)教学效率低。为了提高学生的考试成绩，师生双方几乎达到了努力的极限——学生为了做完作业经常学习到深夜，教师为了给学生讲题经常“拖堂”、“抢课”。然而，师生的辛苦往往换不来考试成绩的提高。相反，高强度的工作和学习严重影响了师生身心健康，使师生关系越来越紧张，学生的“两极分化”现象越来越严重。(2)教学质量低。从小学、中学，到大学的过程中，除了少部分学生喜欢数学外，大部分学生都说数学最难学，最不喜欢的学科。小学低年级时，学生都很喜欢数学，家长也都以孩子的语文、数学能够得“双百”为目标。高中毕业时，却有大量的学生的数学高考成绩是个位数，甚至是零分。为什么学生的数学成绩变化这么大呢?这说明教师在教学中重视的往往是少部分优生的学习状况，忽视了大部分学生的学习诉求。教师就如马拉松比赛中的“引领员”，只是根据处于“第一集团”的学生的需要确定教学的节奏、强度和速度，却不知道大部分学生已经“排队”，很多学生被远远地“抛在后面”，“无人问津”，影响了教学的整体质量。(3)教学效果差。师生虽然付出了大量的心血，可以说是全世界“最累”的群体之一，但数学教与学的效果却很差。首先，高强度的“讲与练”严重影响了师生的身心健康，出现了一些校园恶性事件。其次，学生学了就忘的现象非常严重。许多在校大学生都不敢从事辅导初中数学的家教兼职，因为他们连一些初中数学题都不会解了。最后，大部分学生体会不到数学学习的快乐和数学的用处。大部分学生学习数学就是为了考试，只是获得了一些数学解题技巧，并没有形成数学素养，不会从数学的视角，不能以数学的理性思维解决生活中的实际问题。即使数学成绩很好的学生也没有建立起对数学的感情，比如在国际奥林匹克竞赛中获得一等奖的学生进入清华大学或北京大学后，选择数学专业的很少，不会把数学作为自己终生的研究方向。

  1．2 研究方法和思路

   本研究综合运用了多种研究方法，主要包括文献法、问卷调查法，访谈调查法、内容分析法等。文献法是指通过对已有的文献资料进行搜集、查阅、整理、分析和归类等方式，来分析、阐明和解决问题的一种研究方法。在本研究中，文献法的运用最为普遍。从问题提出到国内外研究现状的分析和综述，再到论文的展开及问卷的设计都充分地搜集和阅读大量的文献资料基础上展开的。正是通过对文献资料的全面分析，确定了本研究的研究起点、研究主题和研究方向。问卷调查法是用书面形式间接搜集研究材料的一种调查手段。本研究应用问卷调查法对小学六年级、初中三年级、高中三年级各两个教学班的学生进行了问卷调查，目的是了解学生对数学符号的认知情况，学习方法，符号意义获得能力水平等，为研究的展开提供实证基础。访谈法是根据口头谈话的方式从被研究者那里收集第一手资料的一种研究方法。本研究应用访谈法的主要目的是了解学生填写调查问卷的真实想法，以获得更加准确、全面信息。内容分析法是一种对文献内容进行量化分析的研究方法。本研究主要应用内容分析方法统计分析小学、初中数学教材中数学符号的数量、分布规律、呈现形式等。本研究以数学符号意义为核心，从理论与实践两个方面展开研究，基本思路如下：研究的理论基础。主要根据教学实践的需要，概括阐述符号学的基本原理和方法。符号学是在语言学科学化的过程中诞生的，其诞生的标志就是索绪尔将自然科学中广泛应用的结构分析法引入到语言学研究中，以新的视角研究符号，将语言学建立在符号学基础上，符号学又建立在心理学基础上，而心理学是以建立在心理实验基础上的科学。因此，符号学既是一种理论，更是一种研究方法。符号学主要包括三种研究视角：(1)符号的本体研究，探讨符号的内部结构，回答“符号是什么”的问题；(1)符号的语言学研究，探讨符号的联结结构，回答“符号如何承载知识”的问题；(3)符号的解释学研究，探讨符号的意义结构，回答“如何获得符号意义”的问题，即文本符号的理解问题。从符号学基本原理出发，分析数学教学活动中的符号现象和符号变化规律，根据数学教学实践的需要，对数学符号与数学知识，数学学习与数学教学进行新的解读，提出符号学视域中的数学符号观、数学知识观、数学学习观及数学教学观，作为数学符号意义研究的基础。基本观点包括：数学符号是数学知识的载体，应该扩充传统数学符号的外延，使其能够涵盖“三维”数学教学目标下的所有数学知识：数学知识是数学符号与数学经验的统一，外在的数学符号结构与内在的数学经验结构(认知结构)之间具有对应关系，数学知识的掌握包括数学符号的经验化和数学经验的符号化两个相反的心理过程；数学学习的过程就是根据对数学符号结构的分析，建构数学符号意义，不断完善和更新个体认知结构的过程，数学学习的重点不是掌握外在的数学符号，而是掌握数学符号意义的建构方法和基本思维模式，多会用多维视角感知数学符号，解读数学符号。数学教学是对数学自学的有目的的干预，应以学生对数学符号的个体理解为基础，不应以教师的理解来代替学生的数学符号意义建构，数学教学的核心是传授数学符号意义建构的基本方法和思维模式，而不是传授数学符号。应用结构分析方法，从新的数学符号观和知识观出发，重新界定数学符号意义的内涵，分析了数学符号的形式结构和意义结构，探讨了数学符号意义建构的基本方法和思维模式。数学符号的形式结构包括数学符号的要素结构和联结结构两个方面。分析数学符号的要素结构有助于数学符号的记忆和理解。分析数学符号的联结结构有助于获得数学符号所承载的全面的数学信息。数学符号的意义结构是建构数学符号意义的基本依据，为师生对话、讨论数学意义提供了基本思维框架。从新的数学学习观出发，探讨了数学符号的意义建构过程，界定了数学符号意义获得能力的内涵、结构和功能。数学符号知识内化为数学经验知识的过程是个体根据已有经验和符号学习能力对数学符号意义进行重新建构的过程，是他人无法代替的。数学经验知识符号化为数学符号知识的过程是个体根据自己掌握的符号系统和自己的符号操作能力将数学经验转换为线性结构的数学符号的过程，代表了个体的数学表达能力和水平。从新的数学教学观出发，探讨了数学符号意义获得能力培养的影响因素、培养途径、培养策略和培养案例。研究的结论和展望。主要概括了本研究的主要结论和创新点，分析了研究的不足，并对符号结构分析教学理论的未来发展进行了展望

  数学的“教”和“学”都是围绕数学符号展开的认知活动，数学符号是数学知识的“载体”、“家园”。因此，符号学理论是研究数学符号的重要理论基础。从符号学的视角研究数学教育中的问题正成为数学教育心理学(PME)的热门话题，国际著名数学教育刊物《Educational  Studies  in  Mathematics》在2006年的两期专刊从符号学的视角开展数学教育的研究，涉及的主题包括数学符号表征理论、数学符号的意义、数学符号的认识论、数学符号的社会文化过程等。本研究主要从符号学的视角，应用符号学的研究方法和基本原理，结合数学教学实践的需要，对数学符号意义进行系统分析，探讨数学符号形式结构与数学符号意义建构之间的关系，为改进数学课堂教学，提高数学教学的效率和质量提供理论指导。本部分主要概括阐述符号学的基本研究方法和基本原理，为研究数学符号意义提供理论基础和方法指导。

  2．1符号学基本研究方法：结构分析法

  人是万物的尺度，外部客观世界的一切现象、事物直接或者经过人造仪器转换后被人的种种感官所感知、编码，最终转变为种种符号，这些符号相互作用、结合、组织、变异共同形成了只属于人类的符号世界。符号世界是精神世界在物质世界的映像，它具有物质的外壳，能够为感官所感知，也具有内在的精神意蕴，引起相应的心理体验，激活相应的内在经验。人与动物最大的区别或者说人比动物高级的根本原因就在于人能够把自己的内部经验以外显的、系统的符号的形式表达、表述出来，成为后人或他人经验成长的基础、资源，这种符号化的人类精神的不断积累，形成了种种体系、理论，汇成了远远流长的、丰富多彩的人类文明、文化。人类虽然很早就创立了符号，但只是把它作为承载知识、交流经验的工具，对符号自身的系统性研究只是近代的事。符号学是索绪尔将自然科学的研究方法——结构分析法引入到语言学研究，试图实现语言学科学化的过程中诞生的。符号学不仅开创了一门新的学科，更为社会科学提供了一种新的研究范式，极大地促进了结构主义、建构主义发展。因此，作为一门新兴学科，符号学的最大贡献不在于它的庞杂理论体系，而在于它研究符号的方法——结构分析法。下面主要阐述结构的内涵和结构分析法的基本思想和基本过程。“结构”是一个应用非常广泛的词汇，不同研究领域的人会有不同的理解。在现代汉语词典中，结构的基本意义是指各个组成部分的搭配和排列。哲学中，结构是指不同类别或相同类别的不同层次，按照一定的次序进行有机排列。心理学中，结构主要是指认知结构，即知识在人脑中的存在状态。总体上看，人们对结构的理解主要有两种：一是作为研究对象；二是作为研究方法。作为研究对象，结构是一个用来表达客观事物存在状态和运动状态的专业术语。卡西尔认为，人具有一种“分离各种关系的能力”，能够从漂浮不定的感性之流中抽取出某些固定的成分，即要素，从而把它们分离出来进行研究。在认识某个事物时，人们会根据观察到的事实和研究的需要确定影响事物存在状态和变化状态的组成要素及其构造关系，这种由组成要素及其关系组成的系统称为结构。结构是一种观念形态，是人们对客观事物的一种主观认识和把握，是客观事物在主观精神世界的一种存在状态，它在一定程度上反应着客观事物的运动状态和变化规律，所以结构是主观意识世界与客观物质世界相结合的产物，在意识形态世界和物质世界都有广泛的应用。比如语言是一种建立在词汇与语法上的结构，语法规定着字词之问的联结关系。在此意义下，研究任何事物的结构，不但要重视它的要素特性及其结合形式，同时也要重视它的比例关系、类型关系、层次关系等。由于对结构中各部分联结关系的不同认识，形成了两种不同的结构观：静态的联结结构观与动态的生成结构观。前者认为结构中的各部分要素是固定不变的，它们之间的联结关系也是确定的，从而构成了稳定的结构。例如，建筑结构、语言结构。后者认为结构中的各部分要素是动态的，它们可以按照各种转换规律进行相互转换，从而使结构呈现生成性，只要要素之间的转换是封闭的，结构就是稳定的。例如，所有自然数可以看作是数1反复进行加法运算生成的算术结构。事实上，两种结构都普遍存在，并不矛盾，只是研究的视角不同。一般情况下，自然符号的结构是静态的，而从结构中抽象出的新结构是动态的，可以在意识中形成一种抽象的生成关系。由于研究目的不同，结构分为本质结构与示意结构。研究本质结构的目的是揭示事物存在和变化的规律，从而更好地掌握事物。例如，布鲁纳主张让学生掌握反映各学科本质结构的知识，认为掌握了学科的本质结构后，学生就可以自主掌握学科的其他具体知识。构造示意结构的目的是用一些特定的符号来直观地呈现要素或事物之间的关系，便于对它们之间的关系进行总体的把握和认识。例如，在一些教材中，每个单元或章节的内容前或后会有知识的结构示意图。

  3  数学符号及其意义结构

  4  数学符号意义获得能力及其培养

  4．1 中小学生数学符号意义获得能力的现状调查

  4．2 中小学生数学符号意义获得过程中的主要困难和错误

  4．3 数学符号意义获得能力的基本特征

  4．4 数学符号意义获得能力培养的影响因素
  4．5  数学符号意义获得能力培养的教学案例

  本研究应用符号学基本原理和方法，分析教育教学中的符号现象，对“符号”、“知识”、“学习”、“教学”进行了重新诠释，对研究假设中的主要观点进行论证，并以此为理论依据和研究方法，重新界定了数学符号、数学符号意义、数学符号意义获得能力的内涵，通过对数学教材中数学符号统计分析和对学生数学符号意义获得能力的调查研究得出了如下结论：(1)无法获得数学符号丰富的数学意义是学生害怕数学，讨厌数学，感觉数学难学的主要原因；(2)教师忽视数学符号的教学导致学生数学符号意义获得能力低的主要原因；(3)教师片面的数学知识符号观和知识观导致教师忽视数学符号教学的主要原因；(4)数学符号结构中蕴含了数学知识的所有信息，需要学习者去感知、发现、领悟和建构：(5)获得数学符号结构中的数学信息需要学生具备较高的数学符号意义获得能力；(6)培养数学符号意义获得能力要超越数学符号“是什么”，努力思考它“意味着什么”：(7)培养学生的数学符号意义获得能力需要教师转变片面的符号观、知识观、学习观和教学观。综上所述，本研究得出最后结论：培养和提高学生的数学符号意义获得能力是解决“数学难学”、“数学枯”，“听而不懂”、“匿而不会”、“会而不对”等教学难题的一种有效的、可行的、具有操作性的途径和方法。本研究的创新表现为理论和实践两个方面：1．理论创新主要表现为三个方面(1)对反映语言符号本质的索绪尔的二元符号结构模型和反映认知结构特征的皮尔士的三元符号结构模型进行整合，构造了能够反映人与客观事物的相互作用过程和人类的认知加工过程的五元符号结构模型；(2)从符号学的视角，对“符号”、“知识”、“学习”、“教学”等教学观的基本要素进行了重新诠释，克服了传统教学观中片面强调知识的经验性，忽视知识的符号性，重视知识的意义讲解，忽视知识的符号特征分析的问题，实现了符号学习与经验学习的统一，实现了学科知识教学与学科语言教学的统一。(1)将结构分析方法应用于知识教学，提出了以师生共同建构符号意义结构为核心的符号结构分析教学法，并结合数学教学实践探讨了数学符号结构分析教学方法的实践过程、模式和案例。(2)根据数学教学实践的需要，对数学符号、数学符号意义、数学符号意义获得能力等进行了科学界定，分析它们的基本类型结构，为实施数学符号结构分析教学法，培养和提高学生的数学符号意义获得能力奠定了坚实的基础。当前，数学符号在数学教学中的作用愈来愈受到重视，但相关的研究尚处于起步阶段。一些学者和教师分别从实证和实践的角度论证了数感、符号感、符号意识、数学语言等在数学教学中的重要功能，但对数学语言符号的理论研究相对很少，使得相关研究具有浓重的经验色彩，对数学符号、数学语言、符号意识、符号感等有关的定义、构成要素、理论基础、实证性研究的科学性等问题都存在很大争议。本研究尝试从理论和实践两个方面进行了有益的探索，但由于研究条件及个人能力有限，这些问题还有待更深一步的研究。为了培养和提高学生的数学符号意义获得能力，本研究提出了一套切合我国国情、便于数学教师操作的教学方法——符号结构分析教学法。该方法的实践效果如何，能否为数学教师所接受，如何从当前的数学教学方法向数学符号结构分析教学过渡等一系列问题也需要大量的后续研究。本研究虽然对数学教学中的符号现象，数学知识的符号特征，数学符号的教学功能等做了有益尝试和探索，但也存在诸多不足：(1)由于时间所限，尚不能全面掌握符号学、语言学理论观点，特别是最新的理论观点，对数学符号意义获得能力的研究只能基于传统语言学和符号学理论；(2)由于数学语言符号具有特殊性，本研究提出的一些观点是否科学、严谨、恰当，还需要在教学实践中进行检验；(3)由于研究条件所限，实证研究中对象的选择主要基于方便性原则，地域较窄、样本较小，因而在研究结果的代表性上受到一定限制，有必要进行更大范围的取样和研究。