小学数学学习困难学生解决问题策略的认知模拟及其启示

  摘要：分析数学问题解题策略是提高小学数学学习困难学生解题能力的有效途径。近年来，随着信息技术和学习科学的发展，为深入分析学习困难学生解题策略提供了新方法。文章在已有学习困难研究的基础上，提出了解题策略认知模拟的方法，以小学数学“众数”问题为例，针对学习困难学生解题过程中存在的数据收集和统计策略等问题，依据小学数学问题解决认知模型，分析认知过程，编写认知程序，实现认知模拟。解题策略认知模拟有助于实现问题解决内部过程的可视化，对于设计与开发智能教学系统、构建智慧学习环境、提供有针对性的认知诊断和干预具有重要作用。

  关键词：小学数学；学习困难；解题策略；认知模拟

 

《义务教育数学课程标准(201 1年版)》强调对于学习困难的学生，教师要给予及时关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动…，从而实现不同的人在数学上得到不同发展。学习困难学生是一线教师关注的特殊群体。本文以小学数学学习困难学生为研究对象，选取小学数学“众数”问题，分析并模拟了解题策略认知过程。随后，选取学习困难学生，访谈任课教师，了解平时学习情况。学习困难学生解题策略认知模拟有助于实现问题解决内部过程的可视化，有助于教师制定个性化的干预方案，有助于帮助学生克服不良解题习惯、养成良好的解题策略。

  1  学习困难学生分析

  学习困难(LearningDisabilities)由美国学者柯克(Kirk S)于1962年首先提出，而学习困难生主要指那些智力正常而学业成绩落后的学生。鼬rk和Chalfantt把学习障碍分为发展性学习障碍和学习性学习障碍。Tournakil5]讨论了加法教学中策略指导对数学困难(MathematicalDisabilities，MD)的重要性。近年来，很多研究关注小学数学算术困难(20以内加减法)解题策略的特征及其发展。国内研究者采用不同的方法对学习困难学生进行研究。金志成等采用两因素混合实验设计，分析了学习困难学生的认知加工机制，指出学习困难学生在工作记忆容量上不如学习优秀学生。宿淑华等对比分析了学习困难学生与学习优秀学生的考试心理特点，探讨了心理因素对学生学业成绩的影响。周永垒等采用实验研究方法，分析了认知策略特点与加工水平对学习困难学生与学习优秀学生的影响。陈雪采用眼动方法，分析了学习困难儿童的视觉搜索过程。孟万金提出了建立健全学习困难诊断标准与帮扶机制。邢强等对214名小学五年级学生开展了应用题测验，结果表明，在应用题的解题过程中，学习困难学生大多采用复述策略或直译策略，学习优秀学生则大多采用问题模型策略。付佳采用个案研究法，考察了元认知训练对小学数学学习困难学生应用题解题干预的效果。

  2  数学问题解决认知模拟

  问题解决认知模拟是学习科学领域研究者关心的话题。在初中数学问题解决认知模拟方面，美国卡耐基梅隆大学心理学院安德森(Anderson J R)教授使用ACT-R(Adaptive Control ofThough．Rational)实现了代数方程式“7x+3=38”解题过程认知模拟。在小学数学问题解决认知模拟方面，魏雪峰等实现了小学数学“众数”、“异分母相加”问题解决认知过程模拟，呈现了问题解决过程某时刻大脑激活区以及大脑的血氧水平依赖(Blood Oxygen Level DependentResponse，BOLD)相应数据。在几何证明问题的认知模拟方面，Gelemter掣”开发了模拟人证明几何定理的计算机程序～一几何机器(Geometry Machine)；我国学者吴文俊院士从计算机解题角度提出了一种几何定理机器证明的数学算法，被称为“吴方法”：之后，张景中院士等对“吴方法”进行了改进，使新的算法实现了几乎所有几何证明题的自动解题。虽然这些算法实现了几何证明自动解题，但都是从计算机自动解题角度分析，没有考虑学生实际的问题解决过程。李莉等依据认知模型分析问题解决认知过程，使用ACT-R实现了平行证明几何问题的认知模拟，并采用口语报告法将学生几何证明过程与认知模拟结果进行比较分析，使问题解决认知模拟更接近于真实过程。

  1  方法

  认知模型是分析解题策略的依据。依据学生的认知特点和学科内容特点构建问题解决认知模型，并以此为依据，分析问题解决策略，以认知矩阵等形式描述问题解决策略选择及实施过程。通过认知矩阵能够形象、直观地显示问题解决策略。之后，根据认知矩阵内容，使用程序设计语言(如Lisp语言)编写认知程序，实现认知模拟。

  2  问题解决过程中的生日数据收集与统计策略

  《义务教育数学课程标准(2011年版)》强调：“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”调研发现，小学数学学习困难学生在解决数学问题时，解题策略的选择非常重要。以小学生普遍反映学习较为困难的应用题为例，解题困难在于选择解题策略，即如何将应用问题转换为算式(如简单算式、一元一次方程、二元一次方程等)。转换成算式之后，学生即可利用学过的算术操作来解答算式问题，解答算式的过程对大部分学生来说并不困难。“众数”是小学五年级下册第六单元“统计”中的知识点，是典型的陈述性知识。分析“众数”问题解决过程发现，数据收集是“众数”问题求解的前提。新课程标准提倡“培养学生运用所学知识与方法解决实际问题，提高学生解决现实问题的能力”。然而，在解决现实生活问题时，数据并不是现成的，需要收集和统计。因此，掌握数据收集与统计策略对于学生解决现实生活问题至关重要。研究过程中，选取某小学五年级数学学习困难学生为研究对象。实验数据分析表明，很多学生(如Duan Y C、Duan Z X等)在数据统计策略上存在漏数、多数等问题，导致问题解决错误。“众数”问题数据处理包括收集每个月过生日的人数和统计后确定过生日人数最多的月份。为了进一步深入、形象地揭示数据收集、统计策略，依据小学数学问题解决认知模型，本研究编写了认知程序，以实现认知模拟。

  图1是模拟收集五月份(用M表示)过生日的人数，即M的个数。采用的策略是先数第1行中M的个数，再数第2行中M的个数，最后数第3行中M的个数。输出结果是5，即程序中的“the number of students whose birthday month is may is 5”。将这一数据收集过程可视化，红色圆圈标注的是最后数到的M。这一解题策略的可视化有助于帮助小学生解决面对数据“无从下手”的困难。当然，以上提到的策略仅是其中的一种，小学生也可根据自己的喜好或解题习惯选择某一解题策略；教师则可以根据模拟结果、学生实际情况在课堂上选择有效的教学策略，从而有助于学生更好地解决问题。分析发现，小学生要正确统计过生日人数最多的月份，需要具备的陈述性知识。p1表示有序数对(1，2)，p2表示有序数对(2，3)，共有10个有序数对。这些有序数对用于比较两个数的大小。对于成人而言，数的大小比较已经自动化。对于小学生来讲，如果不掌握这些有序数对，就在比较数的大小时会出现错误，即不能正确选择过生日人数最多的月份。现已知各月份过生日人数为：1月份3人、2月份2人、3月份4人、4月份3人、5月份6人、6月份4人、7月份2人、8月份3人、9月份2人、10月份4人、11月份4人、12月份5人。图3是统计过生日人数最多的月份认知模拟图(部分)，结果为5月份。

  3 访谈教师

  为了掌握Wang C同学平时数学学习情况，研究过程中访谈了Wang C同学的数学任课教师。教师反映如下：(1)Wang C很聪明，性格外向，自信，思维活跃。但是语文学习不好，影响数学问题的理解。上低年级时受到老师关注比较少，语文理解能力差。应用题上有些题意理解不好，造成错误。课上讲过的内容，理解起来都没问题。只要题意能理解，列式子表达都没问题，有时可能会因为粗心导致计算错误。Wang C做题速度非常快，就做题速度而言，在班里能排前两名。做完后没有检查的

习惯，有时错误率比较高。以上教师反映的情况与分析Wang C同学解题过程口语报告得出的结论基本一致。

  1帮助学生形成良好的解题策略

  良好的解题策略是学生正确解答数学问题的关键。同一道数学题，往往存在多种解题策略，而这些解题策略中存在共同的地方。教师在课堂教学过程中，应改变“标准”、“单一”的解题方法，鼓励学生采用多种解题策略和方法解决同一问题。良好的解题策略不仅有助于学生尤其是学习困难学生成功实现问题解决，也是在学科教学中培养学生思维能力的重要途径。

  2  关注学生的能力差异

  “一对一”认知诊断能够判断出每个学生的数学解题能力缺陷，进而针对学生解题过程中的错误表现，为不同能力水平的学生设计不同水平的问题。学生在解题过程中遇到困难时，教师提供有针对性的提问，逐步引导学生自己正确解答问题，满足不同能力水平学生的需求，促进学生数学能力可持续发展，激发学生的创造潜能，实现教育目标。

  3  开展数学认知障碍的早期鉴别和干预

  通过“一对一”认知诊断，先期发现困难，通过相应的补救措施减少或排除这些障碍。通过对数学学习困难学生情况的分析，针对不同的问题类型、不同的年级，找出导致学习困难的认知障碍所在，分析产生认知障碍的原因。“冰冻三尺，非一日之寒”，高年级学生存在的认知障碍可能是在低年级的学习中逐步产生的，因此，针对认知障碍产生的原因，在低年级学习时进行预防和干预，会对后期的学习产生积极影响。比如，学生在计算两位数相乘时经常出错，

仔细分析计算过程后发现：学生已经掌握了简单乘法规则，但在两数相加时“进位”出现错误，即在大脑中已形成了一定认知模式。要解决这一问题，就需要教师在一年级学生第一次接触加法、“进位”计算时予以重点关注，使用适合学生认知特点的方法细心讲解，以有效预防后期学习可能出现的问题，从而起到“事半功倍”的效果。

  4  有针对性地实施面向数学认知障碍群体的特殊辅导  对学习困难学生的认知障碍进行分析时发现，在同一年级水平会存在相同或相似的认知障碍。针对典型的认知障碍现象进行深入分析，发现存在的原因并制定有效的干预措施，对具有该典型认知障碍的学生进行有针对性的辅导。改变之前教师在班上面对所有学生讲解所有问题的现状，一方面能节省学生的学习时间，提高数学学习兴趣；另一方面又能针对具体数学问题进行深入讲解，真正做到“对症下药”。如，在有条件的学校开展“一对一”认知诊断就是很好的选择。

  5  合理利用学生“最近发展区”，促进认知发展

  教师通过诊断可以获知学生当前的认知水平，按照教育目标的要求，制定一系列的干预措施，按一定的顺序和要求呈现给学生，有意识地参与和干预学生的学习过程。学生从中掌握知识、技能、解题策略，并内化到原有认知结构中，形成新的认知结构，进而促进儿童认知发展。Feuerstein指出，在每个人的成长过程中都伴随着中介经验的学习，中介经验学习的好坏直接影响到个体的认知发展。

  6  发挥新技术优势，提高诊断与干预的智能化水平

  学习困难学生是课堂教学中的“弱势群体”，促进学习困难学生的学习需要教师付出更多的时间和精力，是当前中小学教师面临的难题之一。已有的计算机自适应诊断系统已不能满足这些学生个性化学习的需求。当前，学习分析技术、体感技术、虚拟现实技术等新兴技术不断涌现，并逐渐被运用到教育领域，若充分发挥新兴技术优势，从学生实际出发，结合学科内容知识，设计开发满足学生个性化需求的教学机器人或智能认知诊断与干预系统，自动诊断学习障碍所在，并给出有效干预措施，就能激发学生学习兴趣、提高诊断效果、丰富课堂教学环境。

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(2011年版)[M】．北京：北京师范大学出版社，2011：49、2、4、5．

[2]KirkS A，BatemanB．Diagnosis and remediation of learning disabilities[J]．Exceptional Children，1962，(2)：73．78．

[3]KirkS A，ChalfantJ C．Academic and developmental learning disabilities[M]．Denver,CO：Love Pub Co．1984：48．