小学生数学问题解决的绩效及其影响因素研究

  第一节  研究背景

  科学始于问题。数学作为一门科学，从其诞生之日起，就与“问题”有了天然的、不可分割的联系。问题是数学的心脏，解决问题是数学学习重要的组成部分，它不仅是学习数学的目的，而且也是学习数学的主要方式，能帮助学生巩固、拓展知识和技能，发展实践能力，激发学生的探究和创新精神。本研究将研究问题聚焦于小学生的数学问题解决，主要是基于以下几方面。 现代数学“问题解决”发端于美国。20 世纪 60 年代的“新数学”运动和 70 年代的“回到基础”运动都留下很多遗憾。如在“新数学”运动中学生不仅没有掌握所要求的抽象概念，而且数学学习的积极性也受到了挫折；“回到基础”的口号过于消极，将数学教学集中于训练学生死记硬背的机械技能，使得一代学生都缺乏数学探究和体验，解决问题能力较差。在经历了对“新数运动”和“回到基础”的历史反思后，1980 年 4月，美国数学教师协会（NCTM）公布的文件《行动的议程》（《An Agenda for Action》）中明确地提出了应当以“问题解决”作为学校数学教育的中心。文件中提出，20 世纪80 年代的数学大纲，应在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去，数学的问题应当围绕问题解决来组织，教师应当创造一种使问题得以蓬勃发展的课堂环境。这份文件中正式提出了“问题解决”这一概念，指出“必须把问题解决作为学校数学教育的核心”、“把学生引进问题解决中去”、“数学课程应当围绕问题解决来组织”。在1988 年第六届国际数学教育会议上，问题解决被正式列为大会的研究课题之一，并在课题报告中几次明确提出问题解决、模型化及应用必须成为从中学到大学的所有数学课程的一部分。在此推动下，各个国家纷纷响应，都把提高学生问题解决的能力作为本国数学教育的目标之一，自此对“问题解决”的关注和研究逐渐成为世界各国数学教育的热点问题之一，甚至有人将问题解决看做是上世纪继克莱因运动、新数运动后的数学教育改革的第三次浪潮。 就国际数学教育的研究而言，关注以“问题解决”为核心的数学素养发展也不是一个短期炒作的“口号”，而是一个长期的研究热点。如国际经济发展与合作组织（OECD）发起的国际学生评估项目（Programme for International Student Assessment，简称PISA）对数学素养的测量，就指测量学生在义务教育阶段结束时所具备的适应社会、解决生活中实际问题的能力。以 2003 年数学领域测评框架为例，其中“数学化过程和能力”维度的测评包括“提出现实问题中的数学概念、提出数学模型、解决数学问题、联系实际解释应用”四个方面，指向的就是学生的数学问题解决能力。 几十年的研究与实践中，针对“问题解决”，各国的数学教育及认知心理学研究者从不同的角度入手，针对“问题解决”本身的释义、学习者问题解决过程的心理机制、问题解决教学等问题进行了大量的、卓有成效的研究，取得了丰富的研究成果。但受到主、客观因素的制约，对于相同的问题，不同研究者的解释和结论并不统一，加之问题解决心理学研究与数学教育研究之间的脱节、部分研究问题空白等情况的存在，使得“问题解决”在经过了三十多年的研究与发展之后，依然是一个有巨大空间和生命力的研究课题。可以说，尽管“问题解决”提出已经过去了近四十多的时间，“问题解决”并没有表现出任何失败或者衰退的迹象，恰恰相反，“以问题解决作为学校数学教育的中心”取得了越来越广泛的支持，成为世界性的潮流。 

  第二节  研究问题与目标

  已有的与“数学问题解决”相关研究，分别从数学、教学、心理学等不同的视角来探讨。在 20 世纪 80 年代，人们对于数学问题解决的研究主要集中在以下几个方面：一是对“数学问题解决”中“问题”的界定和研究；二是对问题解决过程的研究；三是将问题解决与数学教育联系起来，对怎样进行“问题解决”教学作了一定的研究。进入到本世纪，对数学问题解决的研究更加聚焦于学生问题解决的心理过程和数学问题解决教学两个方面，所研究的具体问题涉及数学问题解决的表征、策略、元认知，及构建不同的数学问题解决教学模式等。这些研究庞杂且互相交织在一起，为本研究的开展提供了很好的借鉴。 本研究将“数学问题解决”看作是一个综合概念，涵盖了“课程目标、教学内容、学生学习过程”等多个层面。本研究的主要研究对象是小学六年级的学生，计划从学生数学问题解决的实际表现的角度切入，力图全面刻画小学生在解决小学阶段典型数学问题时的表现，同时分析对学生问题解决表现产生影响的各因素，并针对学生的数学问题解决的现实样态，对未来小学数学问题解决课程教学设计与实施提出建议。 本研究将主要围绕小学生数学问题解决的表现以及影响因素两个维度展开。 在《现代汉语词典》中“表现”一词的解释为，做动词时指“表示出来”或“故意显示自己（含贬义）”，做名词时指“表示出来的行为或作风”。 本研究中，“表现”一词为名词词性，主要是指学生在问题解决过程中可以被发现、观察、分析的行为本身或行为结果。 本研究中将包括以下三个主要的研究问题： 1.小学生数学问题解决结果表现的研究：在数学问题解决的测验中，小学六年级学生在常规数学问题解决和非常规数学问题解决结果上是怎样的？存在哪些差异？ 2.小学生数学问题解决过程表现的研究：小学六年级学生在常规数学问题解决和非常规数学问题解决中的错误表现是怎样的？在解题中使用了什么样的策略？这些错误和策略在常规问题和非常规问题上是否存在差异？ 3.小学生数学问题解决影响因素的研究：确定影响小学生数学问题解决的主要因素，并探讨这些因素对小学生数学问题解决产生了怎样的影响？ 通过对上述问题的研究，期望达成以下的目标： 1.通过对学生数学问题解决测验结果的分析，了解在小学数学一些典型问题上学生的解题结果，及学生在本研究所定义的常规数学问题、非常规数学问题解决中的差异，描绘出小学六年级学生数学问题解决的特点。 2.通过对学生数学问题解决测验过程的分析，刻画小学六年级学生解决典型数学问题时使用策略的特征及错误类型。 3.通过对学生、家长的调查及对教师的调查、访谈等，明确小学生数学观、数学问题观、解题元认知等方面的实际情况，综合分析得到学生自身、家庭、教学与环境如何对学生的数学问题解决产生了影响。 4.通过上述的研究与分析，对学生数学问题解决能力的培养及数学教学提出建议和对策。 

  本章将围绕“问题、数学问题、数学问题解决”等关键词，对与数学问题解决相关的庞杂的研究与文献进行分类和梳理，为本研究的基本概念界定、研究思路确定做基础。本章共分四节：第一节是问题的含义、问题解决的含义、问题解决的理论、问题解决的一般模式。第二节是与数学问题相关的研究整理，包括数学问题的含义、数学问题的结构、数学问题的特征、数学问题的分类。第三节包含对数学问题解决的含义、数学问题解决的价值、数学问题解决的过程模式、数学问题解决中的表征、数学问题解决的策略、数学问题解决的教学、数学问题解决的影响因素等问题的梳理和总结。第四节是对文献综述的总结。 

  第一节  问题、问题解决的相关研究

  不同的学科领域对“问题”有不同的界定。 《牛津大词典》关于“问题”（problem）的解释：这是指那种并非可以立即求解或较困难的问题（question），那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。 《心理学大辞典》对问题的定义是：问题是指“在给定状态与目标状态之间存在某些障碍，需要加以克服的任务情境”。心理学界对问题研究影响比较大的是认知学派。 美国纽威尔（Newell）和西蒙（Simon）从个体面临问题的操作要素出发，认为问题是“给定信息和目标之间有某些障碍需要被克服的刺激情境”，因此，问题具有三个主要组成部分：当前状态（个体经验，已有的有关条件等）、目标状态（期待获得的结果）、达标通路（从当前状态向目标状态转化所需要的一系列操作（算子））。基尔帕特里克（Kilpatrick）认为：从心理学的角度来看，问题可以定义为一情境，在此情境中个体有一目标要达成。而达成目标的直接途径欲受阻——亦即问题乃是由动机者的活动。由这个定义可以提出构成问题的几个要素：（1）动机——目标，一个情境之所以成为问题乃由于个体有动机或者有个目标。（2）障碍，有目标而能轻易达成，或有现成的捷径可以达成目标，则不构成问题，而只是练习。（3）探索活动，既然障碍在前，为克服困难必须分析问题情境、条件和目标，寻求方法以达成目标。Robertson 认为：问题的一个显著特征是存在着一个你想达到的“目标”，而且你还不知道怎样才能达到目标。维克尔格伦认为：我们所考虑的所有形式问题都可以认为由三类信息组成：关于已知条件的信息（已知表达式）；关于运算的信息，这些运算从一个或多个表达式推导出一个或多个新的表达式；以及关于目标的信息（目标表达式）。数学教育家乔治·波利亚（G.Polya）在《数学的发现》中指出：“问题是指有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的”。这里的问题是指为了达到某种目的的行动。我国心理学家对问题的定义与上述的描述相似，认为一个陈述出来的问题要包含三个基本成分：（1）给定：一组已知的关于问题条件的描述，即问题的起始状态的描述；（2）目标：关于构成问题结论的描述，即目标状态的表述；（3）障碍：正确的解决方法不是显而易见的，这就构成了障碍，必须通过思维活动排除阻力，才能达到目标。不管怎样定义问题，对学生而言问题有三个特征：（1）接受性：学生愿意解决并且具有解决它的知识基础和能力基础；（2）障碍性：学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决；（3）探究性：学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探索和研究，寻找新的处理方法。

  第二节  数学问题的相关研究 

  与定义问题相似，数学问题如何定义，目前尚无统一的看法。分析国内外具有代表性的关于数学问题的定义，大致可以归结为以下几种类型：把数学问题理解成一种情境、一个系统、一种集合或一个认知过程。 把数学问题定义为一种情境状态，源自于波利亚（G.Polya）、纽威尔（Newell）和西蒙（Simon）等人将“问题”定义为一种情境状态。1988 年第六届国际数学教育大会（ICME）就将数学问题界定为“一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境”。 也有学者认为数学问题是一个与数学有关的被意识到但又不能立即达到目的的情境状态，解决问题的过程就是寻找恰当的途径与方法，达到这一被意识到的目的。 或者说数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态。奥加涅相（B.A.Oganesyan）利用“系统”的概念描述“题”这个概念。系统（S，R）中，S 代表某个主体（即“人”），R 代表某个构成一个抽象（或具体）系统的集合，就称集合 R 为“题系统”。如果一个主体接触 R 后，R 中足以使他认定 R 是一个系统的那些 R 的全部元素、元素的性质以及关系，都是他所知道的，那么就称系统 R 是相对于该主体的稳定系统。如果与 R 接触的主体对 R 中哪怕是某一个元素、性质和关系不了解，而这些元素、性质和关系对于主体认定 R 是一个系统是必须的，那么便称系统 R 是相对于该主体的问题性系统。斯托利亚尔在《数学教育学》中给出了更为抽象的定义：用数学术语记号叙述某一个“对象领域”，这种对象领域可以用一个或几个集合，这几个集合能并成一个全集，与其中规定的谓词（表达这些结合的元素性质或他们之间的关系）构成的问题称为数学问题。这种集合可以被描述得更具体一些。如格劳斯（Douglas A. Grouws）对问题的两种不同理解：一是认为“在数学中，问题是那些要求作出解答的任何事物”。从这个定义看，它似乎包含了自有数学书面记录起的全部数学作业。一是认为“问题是让人感到费解或困惑的东西”。从这个定义来看，“问题”的外延要大得多，它似乎包括了数学中的全部对象。这种观点认为数学问题是认知领域的一个范畴。所谓数学问题，是指某个给定过程，对对象认识的当前状态与智能主题（包括人与机器）所要求的目标状态之间差距或矛盾的主观反映。再如舍费尔德（Schoenfeld）定义数学问题：对学生来说，一个数学问题就是这样第一个任务：学生对之有兴趣并投入其中且希望得到解答，但他们还没有一种现成的数学方法来得到这种解答。因此，舍费尔德认为，大多数在课本中的问题和指定给学生作业的问题都不能算作问题。而在数学课程中引入文字题或应用题也只能是问题解决的一小部分。

  第一节  研究问题与研究思路

  第二节  研究方法与研究对象

  第三节  研究工具与数据收集

  第四节  研究的信度、效度与伦理

  第一节  研究过程

  第二节  学生常规数学问题测验（T2）结果的分析

  第三节  学生非常规数学问题测验（T1）结果的分析

  第四节  学生常规问题、非常规问题（T2、T1）测验结果的对比 

  第五节  总结与讨论

  第一节  研究过程

  第二节  学生数学问题解决错误情况的分析

  第三节  学生数学问题解决策略使用情况的分析

  第四节  学生数学问题解决策略使用的比较

  第五节  总结与讨论

  第一节  研究过程