浅析专业背景下的案例教学法在高等数学教学中的应用

 

  洛阳理工学院在2013 年被确立为河南省首批五所应用型本科转型发展试点院校之一，2016 年被确定为河南省示范性应用技术本科院校。应用型本科院校人才培养注重的是将基础理论知识有效应用到实践当中，强调学生适应社会的能力，重点培养他们的基础理论、拓展知识领域、提升专业技能与素养，激发创新意识。因此这样的培养目标对高等数学的传统教学提出了新的要求，作为教师不能再把思维禁锢于讲授系统而严谨的高等数学体系，更多的是要关注到数学知识在现实生活中的应用，在学生所学专业中的应用，以此发挥出高等数学这门基础而又重要的课程对学生应用能力培养中的作用。传统的高等数学教学中，在引入数学概念、定理的实际背景时仍采用古典几何和物理学的相关知识作为应用实例，因此学生学习高等数学，仅仅根据教材上所举的理想化的例子很难体会到高等数学知识在实际生活中和自己专业中的应用，这样的教学也有悖于应用型人才的培养需求。本文以高等数学中空间曲线参数方程的建立和一阶微分方程的建立为例，结合机械生产中怎样测量纺织绕线机的丝线绕线长度和材料科学中新型功能材料的设计这两个问题，引入专业案例，将抽象化的数学知识与具有专业背景和科学前沿的实例紧密联系在一起，形成理论与实践相结合，教学与专业相结合的教学内容，使得高等数学的教学内容更加贴近专业实践需要，帮助学生更好地掌握专业知识，成为应用型人才。

  ( 一) 案例的背景分析

  纺织业目前亟待解决的问题: 怎样测量纺织绕线机的缠绕丝线长度? 目前国内纺织行业主要采取的方法是对丝线密度长度的测量。但是，由于丝线本身线径很细，质量很轻，而绕线机成品后丝线的长度很长，这就给准确测量带来了很大困难。除了这些问题，还要考虑到丝线越缠越厚、是否容易断线，以及退线方式等问题。所以，一种准确可靠的测量手段亟待出现。为了解决这些实际问题，在数学上，最重要的就是建立合适的数学模型。绕线机的工作过程: ( 1) 丝线以螺旋方式缠绕到丝线辊上，丝线辊做旋转运动，拨叉做轴向往复运动; ( 2) 丝线线轴与丝线辊同轴转动，即丝线以恒定速度缠绕在线轴上; ( 3) 通过拨叉的往复运动，改变缠线位置; ( 4) 丝线线轴一般为圆台形状，将丝线的线轴延长，就形成了一个圆锥。因此，丝线的绕线曲线就可以看成是动点在圆锥面上的运动轨迹。所以，要解决上述问题，测得丝线长度，首先最重要的就是建立质点在圆锥面上运动的轨迹方程，也即建立空间曲线的参数方程。

  ( 二) 案例的数学描述———空间曲线的参数方程

  将空间曲线看成空间中动点运动的轨迹，将时间 t 作为参数，则有如下定义。定义: 在空间直角坐标系中，将曲线 C 上动点的坐标 x、y和 z 表示为 t 的函数:当给定 t=t1时，就得到 C 上的一个点 x1，y1，z1( ) ; 随着 t的变动可得曲线 C 上的全部点。则方程组叫做曲线 C 的参数方程。

  ( 三) 问题分析与假设

  1．问题的分析。  绕线机的绕线过程: 考虑到卷绕丝线辊的结构，丝线以螺旋方式缠绕到丝线辊上，工作过程中丝线辊做旋转运动，拨叉做轴向往复运动; 丝线的线轴与摆子( 拨叉) 同轴转动，即丝线以恒定速度缠绕在线轴上，通过拨叉的往复运动，改变缠线位置。丝线线轴一般为圆台形状，简化工作过程，拨叉摆动一次，卷绕丝线的缠绕曲线即为圆锥面上的螺旋线。由此可以考虑建立圆锥面上的螺旋线的参数方程。  2． 根据分析，提出假设。  由问题分析，可以假设: ( 1) 假设拨叉在往复摆动一次时，丝线绕线轴旋转的圈数为 2n 圈( n 值可由实际情况测出) ; ( 2) 不考虑线轴逐渐变厚。  3． 由问题分析和假设，建立方程建立坐标系，画出图像: 以线轴的底圆圆心为坐标原点，建立空间直角坐标系; 设底圆半径为 Ｒ，圆锥半顶角为 θ，缠绕高度为 H( Ｒ、θ、H 均可根据实际情况测出) ; 起始点设为M0(Ｒ，0，0) ，螺旋线上任一点 M 坐标为(x，y，z) ，M 在 xoy 面上投影点为 M'，坐标为(x，y，0) ，旋转角度为 α0 #α #2nπ) 。延长 OM' 交圆台于点 B，连接 MB，在直角三角形 ΔM'MB 中:∠M'MB=θ，M'B = z·tanθ，OM' = OB－M'B = Ｒ－z·tanθ;在直角三角形 ΔAOM'中:∠AOM' =α－2kπ (0 #k #n) ，x = OA = OM'·cos∠AOM' = (Ｒ－z·tanθ) ·cosα，y = AM' = OM'·sin∠AOM' = (Ｒ－z·tanθ) ·sinα。

  二、利用微元法建立微分方程的应用案例

  三、结语

参考文献: