初等数学教学中借鉴高等数学教学法分析

本文通过对上海某大学教授《数学分析Ⅰ第二章数列极限》与上海某高中相对应的《高二上第七章数列与数学归纳法》的访谈调查，了解到当前高中初等数学的教学方法使用中反复习题训练问题仍然凸显. 针对日益突出的初等数学和高等数学的衔接问题，提出新的探索方向：初等数学教学借鉴高等数学教学法.从理解性教学的角度，提出了 7 种高中数学教学中借鉴高等数学教学法可用的教学策略，使得高中数学教学不需要耗费大量的课时和习题学会知识、学会思考，使得学生在理解知识本质后应用，并使初等数学教学与高等数学教学法在使用上有效衔接、充分融合.
第 1 章 绪论

  针对在实际数学教育中发现的问题，通过查阅文献的方式，对所要探索的问题进行背景研究、现状研究，以了解现如今对问题的研究程度以及研究角度. 由于本文提出的角度较为新颖，现有研究并不多，而问题属于“初等数学与高等数学衔接”这个大问题背景下，因此主要从这个角度进行文献查阅，并针对已有研究，提出进一步可以进行研究的方向.

1.1 研究背景

2016 年，习近平总书记提出了“素质教育是教育的核心”，随后党的十九大首次提出“发展素质教育”. 2020 年，习近平总书记在第 36 个教师节向全国广大教师和教育工作者提出了“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命，积极探索新时代教育教学模式，不断提升教书育人本领，为培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人做出新的更大贡献. ”而教育部于 2020 年最新颁布的《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)》中也进一步明确了普通高中教育的定位：为培养学生的综合素质和核心素养，使他们具有自主发展和终身学习的能力，为他们适应高等教育和社会生活做准备，最终实现终身发展奠定基础.课程标准更新了数学课程的内容，提出了高考命题建议和教材编写的建议.高考题量减少，开放性问题和探究性问题增多，更加注重考查学生的数学学科核心素养和对数学的本质的理解，聚焦数学方法、思想的理解和应用，考察学生的数学思维品质的形成过程以及学生会学数学、实践和创新的综合能力，以满足人才选拔的要求，发挥数学高考的选拔功能.高中数学教材的教学内容和形式上都有了很大的调整，增加了新的内容，将许多高等数学内容直接下放到了中学教材中. 例如：必修中的复数的三角表示、分层随机抽样；选修的全概率公式、贝叶斯公式，涉及到高等数学中的“复变函数”和“概率论与数理统计”，在学生进入高等院校后，学生会进一步进行学习和深入. 而专题模块中的“球面上的几何”、“对称与群”等，在学生进入大学之后，也不是必须要求学习的数学内容.

1.2 研究现状

随着新课程改革和教材修订，初等数学与高等数学的衔接问题也被重点关注.高等数学内容下放至初等数学中，是将两者的衔接过渡阶段提前的体现. 而初等数学教育中的传统思想仍被大量效仿、采用，却是加剧了两者之间的衔接问题.

1.2.1 传统应试思想仍普遍存在

“习题训练法”仍是我国现阶段初等数学教学的方法之一. 最值得一提的便是衡水中学. “河北高考成绩领先于全国的佳绩”的背后，实际是学生每天“魔鬼式”生活的结果. 但由于其带来的“优越效果”，全国很多中学也都纷纷效仿衡水中学的教育方法，对“题海战术”甘之如饴，导致了“衡水中学化”的现象.显然，这样的教育模式是落后的，也不符合“素质教育”的理念. 它以一种机械学习的方法，虽然提高了学生的做题速度，却很容易使学生形成一种思维定式. 随着相同题型出现次数增多，形成套路，当遇到同类型的题目时马上反映出解题的方法. 与此同时，也缩减了学生自己对题目的思考，减少了解题的能力和思维的锻炼，也降低了学生的创新能力. 如果遇到自己没有遇到过的题型时，学生便会不知所措，不知如何进行思考. 甚至，再次遇到同种类型的题目稍作变化时，也无从下手，那么，“题海战术”就变成了“无效作业”.这种“应试教育”其实是一种的“中断”的教育方法，注重的只是眼前的“利益”——高考前学生的“培育”，却没有考虑学生今后的学习和发展. “题海战术”提高了学生考上大学的概率，那么在进入高等院校后的学习又该如何继续.
第 2 章 初等数学与高等数学教学方法的调查与分析

针对初等数学的教学过程中存在反复习题训练的问题，虽然我们确实能感受到初等数学与高等数学在教学方法的使用上存在着差异，但没有切实的数据足以支撑. 因此，首先通过对当前大学和高中教学方法的使用情况进行调查，分析两者在教学周次、授课内容、学时要求、知识点、课后作业、习题数等方面的异同.通过课时数与习题数的比例关系，了解当前大学高等数学课程以及高中初等数学在教学方法使用中最主要的差异.在初等数学课程方面，则选取与之相对应的《高二上 第七章 数列与数学归纳法》的内容，那么，在高等数学课程方面，选取与之相应的《数学分析》第二章 数列极限》的内容，主要从教学周次、授课内容、学时要求、知识点、课后作业、习题数、课堂教学模式、课外学习要求这几个方面展开. 由于高中数学课程在教授的过程中也会涉及大量的习题，因此，将习题数分为课后习题数和课上习题数两个部分进行统计，而数学分析课程在课堂上不会涉及习题，则只选取统计了课后习题数.采用访谈法对大学教授及高中数学教师进行调查（访谈提纲如附录所示），分别选取 2 位上海某大学教授《数学分析Ⅰ》的数学教师和 5 位上海某高中高二的数学教师作为调查对象，通过对所得数据的整理统计分别得到两者完成一个知识点所需课时数以及习题数的比例关系. 进一步将得到的数据进行对比，并且对相同的教学内容，分别从高中教师和大学教授两个角度再次划分知识点和课时分配，以了解现高等数学课程以及高中数学的教学方法使用情况的差异.

2.1 数据分析

将所得的结果进行统计（如附录中表 14 和表 15 所示），经过汇总将数据以表格的形式呈现（如表 1 和表 2 所示）.

2.2 调查结果再分析

由于数学分析与初等数学课程的容量、学生的情况有很大区别，上述统计不够客观. 那么，根据访谈内容，现将从高中教师和大学教师分别对同一教学内容进行教学时，所认为的知识点和课时数进行统计和分析.一方面是从高中教师角度看数学分析. 大学老师对于“数列极限”环节进行的知识点划分，共计 6 个：1.极限思想是无限逼近过程；2.  − N 语言的掌握（极限存在与不存在的定义）；3.收敛数列的性质和应用；4.数列极限存在的条件；5.判别定理：单调有界定理、柯西收敛准则；6.重要极限.而高中老师对于同一项内容的教学，若以高中模式进行教学，将其划分为更细的知识点并增加习题课：1.数列的定义和通项；2.数列极限的1 − N 定义和注意事项（与 1 共计 2 课时）；3.证明数列的极限及例题讲解（2 课时，习题课 2 课时）；4.证明发散数列和数列收敛的充要条件、探究其改变有限项后的数列（2 课时，习题课 2 课时）；5.无穷小数列和无穷大数列的定义（1 课时，习题课 1 课时）；6.收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性）及其证明（3 课时）；7.利用性质证明、求解数列的极限（2 课时，习题课 2 课时）；8.数列极限的四则运算法则及其证明（2 课时）；9.利用法则证明、求解数列的极限（2 课时，习题课 2 课时）；10.数列子列及其收敛性（1 课时，习题课 2 课时）；11.单调有界定理及其证明（1 课时）；12.利用单调有界定理证明数列极限存在（2课时，习题课 1 课时）

第 3 章 借鉴高等数学教学法的高中数学教学策略研究................................18

3.1 类化教学...............................................................................................18

3.2 多角度理解本质...................................................................................19

3.2.1 语言表达角度............................................................................20

3.2.2 表格角度....................................................................................21

3.2.3 几何（图像）角度....................................................................22

3.2.4 代数角度....................................................................................23

3.3 多知识点串联.......................................................................................24

3.4 趣味引申...............................................................................................27

3.5 合理运用阅读材料和探究与实践.......................................................30

3.6 培养分析的思维方式...........................................................................31

3.7 高中与高等数学教师加强沟通...........................................................34

第 4 章 借鉴高等数学教学法的高中数学教学................................................36

4.1 斐波那契数列的起源...........................................................................36

4.2 斐波那契数列与递推关系...................................................................36

4.3 斐波那契数列与极限...........................................................................39

4.4 斐波那契数列与通项公式...................................................................39

4.5 斐波那契数列与前 n 项和...................................................................41

4.6 斐波那契数列与算法...........................................................................43

第 5 章 借鉴高等数学教学法的高中数学教学拓展........................................45

5.1 递推数列与函数...................................................................................45

5.2 递推数列与方程...................................................................................47

5.3 换元法...................................................................................................48

5.4 极限思想与几何...................................................................................49

第 6 章 总结与展望............................................................................................53

6.1 总结.......................................................................................................53

6.2 优势与不足...........................................................................................55

6.3 展望.......................................................................................................56

第 5 章 借鉴高等数学教学法的高中数学教学
拓展高中的数学拓展课中同样可以结合“多知识点串联”和“趣味引申”策略进行拓展课的教学. 仍以“数列”内容为例，由于“极限思想”在高中并未重视和深入，但在高等数学中“极限思想”却有着非常重要的地位，它是高等数学中最基本的概念之一，许多高等数学中的重要概念，如连续、导数、一元函数的重积分、曲面积分等，都是通过极限思想来定义的. 因此，在高中阶段深化极限思想也是重要的，教师在拓展课中可以将其作为数列章节的补充内容，既可以培养学生善于思考、探索的数学核心素养，也可以为学生将来进入大学的学习奠定基础.除了数学定理的理论方面，在应用和实践中，极限思想也是一种重要的研究方法. 它不仅是一个概念，也为客观世界数量变化的认知提供了一种思维方式.极限思想将“有限”扩展到“无限”，将“直线”扩展到“曲线”，将“常量”扩展到“变量”，使人们的认识从“量变”到“质变”. 极限思想通过“无限地逼近”实现了“近似”到“精确”，为人们提供了一种新的思考方式. 就高中阶段