高中数学教学的案例兼谈数学史的融入

现阶段的教学，开始重视知识与实际问题相联系，增加了运用知识解决问题的实际情景，学生对于数学学习的看法已经发生转变，开始意识到数学的应用价值.但是数学教育不应满足于此.真正的数学教育，不只是使学生学会知识，教师对自己的教学要求不能仅停留在知识讲解这个层面上，教学效果也不能仅仅是使得学生学会了知识又或者说仅仅是使学生可以运用知识进行解题这么简单.真正的数学教育，是要能让学生真正理解数学知识，在精神层面如意志、品格等，也能受到陶冶和启发.本次案例教学实践，基于历史发生性原理，进行了融入数学史的重构课堂教学，为了测试重构课堂对学生学习是否有积极正面的影响，如能否加深学生对数学知识的理解和掌握，能否锻炼学生的意志与品格等.
1 绪论

1.1 HPM 概述

1972 年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教育关系研究小组（HPM），后来我们也将数学史与数学教育之间的关系称为 HPM.从发现数学史的教育价值到如今，HPM 引起了教育界和数学界等学者的关注并受到了高度评价.国内外许多学者对数学史的教育功能有自己的看法.中国数学史专家李文林认为，学习数学史，可以帮助学生理解抽象难懂的数学概念及其产生的意义等.在融入数学史的过程中，学生会经历数学家们的探索过程，体会知识发生发展过程中蕴含的数学思想方法以及数学家们不畏困难、勇于探索的精神，从而陶冶学生的品格，锻炼学生的意志，对学生的精神层面有一个积极正面的影响，有利于学生的发展.中国数学学会理事长邓明立也发表了自己关于数学史的看法，他认为，数学史是数学发生发展过程的见证，记录着数学发展的重要阶段和细节.我们可以从数学史中感悟其中蕴含的数学思想方法，有助于对数学的理解和学习.由于文化之间是存在联系的，所以学习数学史也有助于我们对其他学科的学习.德国教育家和数学家克莱因主张在数学教学中融入数学史.他认为，数学史就像是一本字典，里面记载了数学的全部内容，如果我们要理解数学，要对数学知识有一个大体的掌握，就需要熟悉这本字典，研究数学史.通过数学史，我们会发现所有知识之间存在联系，从而在脑海中形成一个巨大的知识框架体系，对知识有一个大体的把.同时，我们可以通过数学史看到，数学家们为数学的发展付出的努力以及他们拼搏的精神、坚强的意志，这些都值得我们钦佩和学习.教学中融入数学史，还可以帮助学生感受数学的美妙，促进学生美育的发展.

除了上述观点，对于数学史的研究还有很多精彩的理论值得我们研究和探讨.但是所有的理论都表明，融入数学史是改善数学教学的有效途径，可以加深学生对数学的理解和掌握，有助于学生发现知识之间的联系，有利于对学生意志品格的培养等.
1.2研究背景

1.2.1 完善数学课堂的需求

数学是自然科学赖以生存的基础，与我们的生活和社会发展息息相关.笔者阅读文献时发现，部分学生十分惧怕数学，觉得数学抽象难懂，只是因为应试教育要求而被迫学习数学.面对这样消极被动的教育现状，教育专家与教师们迫切的希望找到一种优化高中数学教学课堂的方法.在大家急于找寻方法的时候，数学史开始进入大家的视线.随着对数学史的深入研究，学者发现，融入数学史于数学教学中，可以改善现今令人焦虑的教育现状，关于数学史的研究也成为数学教育研究的重要领域.

2 文献综述

2.1 国内外研究现状

2.1.1 国外研究现状

国外关于数学史的研究十分广泛，根据阅读文献发现，这些研究大致都是围绕以下几个方面展开的：（1）融数学史于数学教育的理论基础；（2）融入数学史于数学教育的意义；（3）将数学史料纳入中学数学课程的研究目的；（4）融入数学史于数学教育的途径.但是，目前主要的研究集中在“为什么要将数学史整合到数学教学中”以及“如何将数学史整合到数学教学中”两个方面.这两个方向的研究中，关于“为什么”这一方面的研究尤其多.许多学者都肯定数学史的教育价值，有研究发现，在课堂中加入数学史上的趣闻或者关于数学家的小故事，能够使课堂更加生动有趣，激发学生的学习兴趣.在兴趣的加持下，学生更加主动的学习数学，学习效率也会因此提高.由此可见数学史对数学课堂教学的重要性.Helfgott，Jahnake 和 Kleiner 等人认为数学史可以为教学内容提供不同的观点和呈现方法，这有助于学生理解知识背后的意义.
2.2 融入 HPM 教学的困难

19 世纪以来，对于数学史的研究越来越多，数学史的教育价值也一度被肯定，仿佛找到了一条能够优化改善高中数学课堂教学的成功之路.然而希望越大失望越大，通过查阅文献发现，数学史并没有很好的融入实际的高中数学课堂中，HPM 出现了“高评价、低应用”的现象，这与大家的预期极度不符，许多学者也开始研究产生这一现象的原因.研究结果表示，“低应用”是因为应用过程中存在一些困难.一些学者对部分教师进行问卷调查，根据教师的回答，总结出了造成数学史出现“高评价、低应用”现象的原因以及数学史融入数学教学存在的困难.以下是目前文献调查中突出的问题：

2.2.1 课上无时间

教师普遍反映没有充足的时间讲授数学史.T1:都知道融入数学史有好处，但是真正要融入没有那么容易，而且课堂上也没有那么多时间给我们，都是抓紧时间上课赶进度，自然没有时间讲数学史.T2:高中的课堂内容十分多，加上还要腾出时间来给学生做题，现在仅是讲授基础知识，时间就很紧了.课本上虽然也有数学史知识的补充，但是实在是没有时间去讲，最多让学生课后感兴趣的话就自己去看看，了解一下即可.

2.2.2 手上无资料

教师普遍反映没有适合融于课堂教学的数学史资料，想去查找相关的资料，也不知道去哪里查，希望能有专业的数学史书方便查阅.T3:我曾经去查阅过数学史，但是查到的大部分都是很深奥抽象的知识，不适合融入中学数学教学中.而关于融入数学史的教学设计也非常少，无法作为参考.其实高中数学中的概念课是比较抽象的，直接授课学生可能比较难理解和掌握，而融入数学史有利于解决这一问题.很希望有高校的老师可以整理适合中学数学的数学史内容或者相关的教学设计，方便一线的教师查询相关内容和进行借鉴参考.一些教师则强烈希望建立“数学典故资源库”.

3 融入数学史的数学教学设计研究............................................................................9

3.1 设计原则........................................................................................................................ 9

3.2 运用方式........................................................................................................................ 9

3.3 理论基础...................................................................................................................... 10

3.3.1 历史相似性原理的产生....................................................................................... 10

3.3.2 历史相似性原理的发展....................................................................................... 10

3.3.3 基于原理的数学史融入....................................................................................... 11

3.4 历史资料整合.............................................................................................................. 11

3.4.1 两角和差的正余弦函数....................................................................................... 11

3.4.2 直线与平面垂直判定........................................................................................... 14

3.4.3 基本不等式........................................................................................................... 16

4 HPM 视角下的教学设计.........................................................................................20

4.1 两角和差的正余弦函数.............................................................................................. 20

4.2 直线与平面垂直的判定.............................................................................................. 27

4.3 基本不等式.................................................................................................................. 33

5 HPM 案例教学实践的调查与分析.........................................................................39

5.1 实施目的...................................................................................................................... 39

5.2 实施测评...................................................................................................................... 39

5.3 实施分析...................................................................................................................... 40

5.3.1 测试....................................................................................................................... 40

5.3.2 问卷调查............................................................................................................... 40

5.3.3 访谈....................................................................................................................... 44

5 HPM 案例教学实践的调查与分析

按照 HPM 视角下的教学设计，笔者于 2020 年 10 月、11 月在江西省南昌市铁路一中实施课堂教学.几个班的学生数学基础较好，但是对于引入数学史的课堂教学效果如何，是否有助于学生理解知识，笔者还是心存顾虑.
5.1 实施目的

现阶段的教学，开始重视知识与实际问题相联系，增加了运用知识解决问题的实际情景，学生对于数学学习的看法已经发生转变，开始意识到数学的应用价值.但是数学教育不应满足于此.真正的数学教育，不只是使学生学会知识，教师对自己的教学要求不能仅停留在知识讲解这个层面上，教学效果也不能仅仅是使得学生学会了知识又或者说仅仅是使学生可以运用知识进行解题这么简单.真正的数学教育，是要能让学生真正理解数学知识，在精神层面如意志、品格等，也能受到陶冶和启发.本次案例教学实践，基于历史发生性原理，进行了融入数学史的重构课堂教学，为了测试重构课堂对学生学习是否有积极正面的影响，如能否加深学生对数学知识的理解和掌握，能否锻炼学生的意志与品格等.

6 总结

6.1 研究结论

通过对“两角和与差的正余弦函数”、“直线与平面垂直的判定”及“基本不等式”进行传统与重构的对比教学，并在课后，对学生进行了测试、问卷调查和访谈，得到以下结论：

（1）学生对于重构课堂的接受度和喜爱度较高，对数学史的看法和态度是正面积极的，对于教学过程中融入数学史不排斥，接受度不错；

（2）课堂中融入的数学史知识要注意难度，应选择适合用于中学教学、学生阅读基本没有困难的内容，这样的内容融入高中数学课堂教学中，才不会对学

（3）案例中融入的数学家的证明方法，是数学家通过很多年的艰辛探索才得到的，要让学生在课堂的有限时间里推导证明出来，需要教师适时的引导，把握课堂的整体进度；

（4）文化之间存在联系，在教学中融入数学史，不仅有利于学生的数学学习，对其他学科的学习也有促进作用，在教学中，教师要注意引导学生意识到数学史的重要性