渗透数学文化视角下的解析几何教学问题研究

第一章绪论
一、研究的背景
（一） 现代社会越来越重视学生数学素养的培养
早在几千年前，数学就随着人类文明的诞生而出现了。随着时代的发展和社会的进步， 人类在数学方面的成就也日益丰盈，可以说生活中处处都有数学的气息。这几年一直在倡 导文化自信[1],这也反映出，文化对于一个民族、一个国家来说是十分重要的，因此数学 文化的研究和学习也是十分必要的。
近年来，普通高中数学课程标准正在逐步完善数学文化在高中数学课堂教学中的渗透。 《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“要让高中学生接受优秀数学文化的熏陶” [2]; 《普通高中数学课程标准（2017年版）》对高中数学课堂教学指出：“必须体现出其文化价 值” DI。
综上可见，在高中课堂教学中渗透数学文化已然成为提高高中学生数学素养的基本要 求和当今社会发展的必然趋势。
（二） 数学文化融入解析几何具有必要性
近年来，很多优秀的教师在各大期刊发表了许多有关数学文化的文章，这种现象进一 步反映了数学文化越来越受到关注，越来越多的教师已经意识到数学文化的重要性。虽然 大部分教师意识到了数学文化的重要性，但是在实际教学中只有极少数教师能够真正做到 将数学知识和数学文化完美融合，多数教师由于没有深入探索和挖掘数学知识背后的数学 文化，最终导致在数学课堂上数学知识与数学文化呈现相互独立的状态。由此，站在教师 的角度来看，数学文化的进一步探索和挖掘十分必要。
自从学生开始上学，数学就一直陪伴着他们，随着年级的不断增长，学生所学习的数 学内容也在不断增多，难度不断增加，到了高中阶段很多学生会厌烦数学，究其根源则是， 教师在课堂教学过程中只注重数学知识的教授而忽略了数学文化的渗透，导致无法提高其 自身的数学素养。因此，站在学生的角度来看，要想有效提高学生自身的数学素养，就必 须要在数学课堂上渗透数学文化。
（三） 解析几何中具有丰富的数学文化
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，在高中阶段，数学课程内
1 容分为三个模块Hl,从课程设置来看，第一模块和第二模块中都设置了 “数学建模活动与 数学探究活动” I5】，旨在通过让学生进一步探索和学习隐藏在数学知识背后的数学文化价 值来提高其自身的数学素养，另外第一模块必修课程和第二模块选择性必修课程中也都设 置了 “几何与代数”，这里的“几何”就包括“立体几何”和本课题所要研究的“解析几 何”。
在人教A版教材中，高中二年级所学习的选择性必修第一册中涉及到了许多“解析几 何”的相关内容，主要集中在《直线的方程》和《圆锥曲线的方程》这两章。
“解析几何”在发展过程中曾被非常多的数学家研究过，包括笛卡尔、费马、梅内克 缪斯、阿波罗尼奥斯等，这也侧面反映出“解析几何”中涉及到了大量的数学史，另外，
“解析几何”这部分内容也包含了大量的数学美、数学思想方法和数学应用，这些在后文 中会一一详述。由此看来，教师在教授该部分数学内容的过程中可渗透的数学文化非常丰 富。
（四）教学“解析几何”时渗透数学文化存在许多不足
在“解析几何”的实际教学过程中，只有极少数的高中教师能够将数学文化与“解 析几何”知识很好地联系起来，这就导致在数学课堂中“解析几何”知识与数学文化相 互独立存在，从而产生以下不足：
1. 学生对于数学文化的界定是模糊的，很多同学认为数学文化就是数学发展史，但其 实数学文化不仅包含数学史，还包含数学思想、数学美、数学应用等。
2. “解析几何”这一部分计算量大，化简难度大，导致学生很容易在做题过程中会出 现错误。
3. 教师所掌握的数学文化来自于其他教师的间接经验，而非自己自主探索的直接经验， 这就很容易导致数学知识与数学文化脱节。
4. 为了让学生掌握“解析几何”这部分内容，大部分教师采用“做题一讲题一做题一 讲题”这种循环反复的教学方法，在这样的枯燥乏味的机械性学习过程中，学生很容易失 去学习数学的兴趣。
以上的诸多不足说明当前高中数学课堂在“解析几何”这一部分的数学文化教育严重 缺失，需要提出相对应的策略来解决这一问题，从而打造高效的高中数学课堂。
二、 研究的内容和意义
（―）研究的内容
本文打算就以下内容进行研究：
1. 高中数学课堂渗透数学文化的现状研究；
2. 高中数学教材中的数学文化研究；
3. 渗透数学文化的解析几何教学设计研究。
（二）研究意义
1. 对学生的意义
研究在“解析几何”的基础之上渗透“高中数学文化”的教学设计，能够为高中数学 课堂教学注入新的“血液”，帮助学生发扬探索精神和创新精神，从而提高学生的数学文 化素养。
2. 对教师的意义
“解析几何”这一部分的知识本身比较抽象，难以理解，如果在教学过程中，教师能 够将与“解析几何”相关的数学文化引入课堂，实际上是开辟了新的授课途径，有助于教 师改善教学方法，提高课堂质量。

第二章理论基础
一、关于数学文化
（一） 数学文化的界定
关于数学文化的界定，不同的研究者有不同的看法。
M•克莱曾用这样美妙的文字形容数学文化：“我们称数学为一种通向物质、思维和情 感世界的方法。我们生活在一个主要归功于数学天才的文明之中四。”
胡炳生等人认为：“数学是人类文化的组成部分，但是，它又是一种特殊的文化，有 其自身的特点容］。”
美国数学家Wilder RL认为数学本身就是处于不断发展之中的文化系统，因此数学文 化同时兼具数学和文化两者的性质I29】。
南开大学的顾沛教授认为数学文化可分为狭义的数学文化和广义的数学文化"I,其中 狭义的数学文化包含数学的观点、方法、精神、思想、语言以及它们的形成和发展，广义 的数学文化则包括狭义的数学文化以及数学美、数学教育、数学史、数学与人文的交叉数 学。
综上，数学文化就是以数学内容为基本，还包括作为文化含义的数学。本文所研究的 数学文化是指与数学知识相关的数学史、数学美、隐藏在数学知识背后的数学思想方法以 及数学应用"I］。
（二） 高中课堂与数学文化
当今高中数学课堂，对于大部分学生来说枯燥乏味、晦涩难懂，而数学文化便是能将 高中数学课堂变得有趣、有活力的有力工具，因此研究如何在高中数学课堂中渗透数学文 化是非常必要的［6］。
首先，教师要想在高中数学课堂中有效地渗透数学文化PL就需要先了解什么是数学 文化。数学文化，顾名思义，就是与数学有关的文化，具体来说，包括数学史、数学美、 数学思想方法、数学应用等数学所展现出来的文化魅力。只有明确了数学文化的概念以及 其内涵，教师才能更好地将数学文化渗透到高中课堂中去，进而才能更有利于学生学习数 学知识，了解数学文化。
其次，就目前高中数学课堂现状而言，数学文化教育缺失十分严重。一方面，因为高
5 中数学本身就涉及到很多很难的知识点、解题方法，所以就导致教师在课堂中没有时间再 去对学生开展数学文化教育；另一方面，很多学生意识不到数学文化的重要性，他们认为 只需要掌握相关的数学知识即可应付考试，因此即使教师在课堂上展开数学文化教育，他 们也并不能全部接受。
最后，数学文化能够帮助学生获得数学素养，主要表现在以下几个方面：
1. 有利于培养学生的数学精神，增强民族自豪感；
2. 有利于丰富学生的数学学习内容；
3. 有利于提高学生的数学核心素养，推动素质教育的实施。
二、关于解析几何
（一）解析几何的界定
黄利兵等人研究了解析几何，认为：“解析几何的特征就是利用代数或分析的手段来 研究几何I"。它是许多现代数学分支如代数几何、微分几何等的基础。在高中数学中，它 也是不可或缺的重要部分。解析几何的历史可追溯至两千多年前的阿波罗尼乌斯，但将它 的建立归功于笛卡儿，已是目前的定论。事实上，与笛卡儿同时代的棣莫弗对此也有重大 贡献。”
蒋声等人在《趣味解析几何》中将解析几何比喻为数学“超级市场”，里面的“产品” 丰富多彩，包括“鲽形椭圆规”、“四足椭圆规”、“黄金椭圆”、“蒙日圆”、“笛卡尔叶形线” 等等［28］
（二）高中课堂与解析几何
高中阶段所学习的解析几何主要是平面解析几何，主要包括直线、圆、圆锥曲线。研 究解析几何，最常用的方法为坐标法，即利用坐标将几何条件转化为代数方程，最终通过 解代数方程来解决几何问题［12］。
首先，教师需要对高中数学教科书中每章的首语中的内容加以重视［8］。章首语中的内 容会涉及到本章的重点知识以及解析几何的起源与发展，可以帮助学生更快理解和领会本 章内容，然而在实际教学中，很多教师跳过了这一步，直接进入到第一节的讲解，导致学 生只能跟着教师的节奏被动学习，甚至很多学生在学习完圆锥曲线之后仍然不知道解析几 何到底是什么。
其次，教师需要对“解析几何”这一部分所涉及到的数学思想方法加以重视。“解析几何”这一部分内容的核心就是将几何问题解析化，在此过程中运用到了许多数学思想方 法，例如数形结合、从特殊到一般、化归等。

第六章渗透数学文化的解析几何教学设计案例
一、《椭圆及其标准方程》
（一） 《椭圆及其标准方程》相关分析
这一部分包含丰富的数学文化，首先作为《第三章圆锥曲线的方程》的开端涉及到 了圆锥曲线的起源，体现了数学史；其次，根据椭圆的几何特征建立其方程时选择的坐标 系以椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，此处利用了椭圆的对称性，体现了数学美；最 后，根据椭圆的几何特征建立其方程，运用到了数形结合和化归的数学思想。鉴于以上， 可以从数学文化的角度对《椭圆及其标准方程》进行教学设计，可以先利用圆锥曲线的起 源引起学生对圆锥曲线的好奇，然后通过数学实验的方式增强课堂的有趣氛围，让学生学 会自主探索新知识。
（二） 《椭圆及其标准方程》教学设计
（1） 教材分析：
《椭圆及其标准方程》这一内容选自《普通高中教科书》数学选择性必修第一册中第 三章第一节的第一课时。
（2） 学情分析：
在学习了《直线与圆的方程》之后，学生已经对解析几何有了一定的理解和掌握，并 且本节课即将学习的椭圆与之前已经学习过的圆有很多相似之处，这有利于学生对于本节 内容的理解和掌握，但是对于圆锥曲线，他们是初次接触，所以学习起来还存在一定的困 难。
（3） 教学目标：
① 理解椭圆的定义及椭圆的标准方程。
② 理解椭圆标准方程的推导过程，掌握定义法和待定系数法。
理解本节课所涉及到的数学文化，包括了解解析几何的起源以及进一步理解数形结 合思想方法、化归思想以及方程思想。

第七章研究结论
―、研究的结论
首先在查阅了与“数学文化”、“解析几何”、“教学设计”有关的文献资料后，进行了 文献综述。
其次，根据相关理论基础和问卷调查结果，分析了当前高中数学课堂数学文化渗透的 现状，接着进行了可行性分析。
再次，研究了本文研究的教学设计应该满足的条件及其教学过程中各个环节的编排。 之后，进行了《椭圆及其标准方程》教学设计和《直线与圆的位置关系》教学设计， 并且分析这两个案例。
最终得出本文的研究结论：
1. 对于高中数学课堂渗透数学文化的现状
① 学生都具备一定的数学文化素养，但是水平不高。
② 教师在平时的教学中也不太注重数学文化的渗透。
③ 关于过去的考试中出现的数学文化的题，没有系统的认识。
2. 对于高中数学教材中的数学文化
高中数学教材中数学文化主要体现在数学史、数学美、数学思想、数学应用四个方面; 高中数学教材中“解析几何”数学文化主要体现在章首语中的解析几何起源和简单应用、 “阅读与思考”中的数学史、“探索与发现”中的数学思想方法、“信息技术的应用”中的 数学演示实验四个方面。
3. 对于渗透数学文化的解析几何教学设计
① 应满足在教材分析等六个方面都能体现出数学文化的条件：第一，教材要深挖；第 二，学情要深析；第三，教学目标要体现数学文化；第四，教学方法要灵活多变；第五， 教学素材要取自现实生活；第六，教学过程要创新多样。需要注意的是，数学文化的体现 不光在数学史，还有数学美，数学思想方法，数学应用等。
② 应包含五个教学环节：情境引入；探索新知；巩固练习；归纳总结；布置作业。需 要注意的是，教师在实际教学时，绝不能墨守成规，被困于这个框架，应该结合实际情况 突破框架，在合适的地方融入数学文化。