基于变异理论的大学数学概念教学设计

 

  变易理论理论的研究始于是世界著名教学专家、瑞典哥德堡大学的马飞龙（Ference Marton）教授所提出的现象图式学。现象图式学认为，学习一定有其内容, 而每一个体对学习内容的认识都有其个别的独特视野。在这些视野中，有一些能够体现事物本质的关键属性，高明的看法能够辩识这些关键特征:而所谓学习困难就是学习者难以辨识这些关键特征。变易理论认为我们不能在不变状态中去感知事物的存在价值和性质。没有某方面的变动，事物特性只会是潜在隐藏，这对于认识事物的存在意义并没有帮助。近些年，变易理论得到广泛的传播和研究，在全球享有很高的声誉。目前，已有众多教育工作者将变易理论作为设计教学的指导工具，进行教学的研究和改革，取得了丰硕的成果。但这些研究大多是针对中小学的教学，目前对于大学的教学方面的研究甚少。笔者在实际教学中研究发现，变易理论同样可以应用于大学数学的教学设计，并取得很好的教学效果。数学概念是建构数学理论大厦的基石,是学生进行数学思维的核心和基础。学生在处理计算、证明、作图等具体数学问题中无时无刻不用到数学概念。学习概念性知识有助于发展更高层次的数学思维以解决数学问题。数学概念是比较抽象的，学生学习数学的思考过程大多是把抽象的概念与生活经验相联系，用他们的生活经验去解读抽象的数学概念。为让学生获得清晰的数学概念，教学时应把抽象的数学概念具体化呈现，让学生经验变易图式及反思学习数学概念。所以说，数学概念的学习是基于变易的。在大学数学课堂教学中，很多老师都会觉得，只要把问题讲得很详细、很清楚，学生便会得到跟老师一样的理解。然而事实上的结果常常与假设相差甚远，这让老师们感到非常困惑。老师们常常会把这些归因于学生的学习动机或数学基础、天赋能力。下面是笔者在给工科学生上高数的不定积分的概念时，遇到的一个小插曲。定义：定义在区间 I上，f (x) 的带有任意常数项的原函数，称为 f (x) 在区间  上的不定积分，记作 ∫f (x)dx。即，如果F (x)为I的一个原函数，则∫f (x)dx=F(x) + C（C为任意常数）。其 中 记 号∫ 称为积分号，f (x) 称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。笔者还是按常规的方法进行这个概念的教学，但在讲完后续课程分部积分后的一次学生交流，让我意识到了教学中的问题。学生问我：“老师，我按下面这样做，结果对不对?”∫sec2xd(tanx) = tanx + C。最初一看到这个问题我感觉很不可思议，但我还是耐下性子问学生为什么会这样想呢？学生回答说：“因为(tanx)′ = sec2x。”我的天，学生竟然是这样想的！“变易理论”认为，老师之所以难于明白学生学习的真正困难所在，不了解学生如何思考的和如何学习的，主要原因在于忽略了教学内容的某些关键特征，而这些经常“视而不见”关键特征却是教师习以为常以至于不会特别去处理的东西，这些处于老师盲点的关键特征恰恰便是造成学生学习困难的主要原因。

  变易理论认为，要认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同之处。为了注意这个事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化。在所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来。将这一理论应用于课堂教学实践，通过设计适合学生学习的变易图式进行教学，帮助学习掌握学习内容的关键特征，对于提升学生学习素质，尊重学习过程中的个体差异具有非常重要的意义。变易理论应用于课堂教学，主要体现为对学科教学内容的处理，而不是教学活动形式的选择与组织。在运用变异理论设计教学过程中，教师首先必须清楚学生应区分哪些关键属性，能辨出是哪些特征有可能导致学生在学习过程中出现困难。但很多时候，教师跟学生一样，还未能对教材有足够的认识，也未能区分出这些关键特征，或者某些关键属性对于教师来说并不困难，或由于太习以为常而把它忽略。只有诊断学习困难并确认学习内容的关键属性，才能为教学设计提供有效的依据。常见的方法是对学生进行访谈，以了解学生的想法，或设计一个前测问卷调查，借以诊断该群学生的学习难点。只有对学生的学习困难所在以及教学内容的关键属性有深入的了解，运用变易图式进行教学设计才具有针对性。运用变易理论设计教学的一般过程如右图。下面分别以函数的连续性和不定积分的概念为例，简要介绍一下变易理论在数学概念教学设计上的应用。

  （一）连续函数概念的变易教学设计

  函数是高等数学的主要研究对象，而极限作为其主要的研究方法，连续性则作为研究函数的桥梁，由此可见连续性概念对高数学习的重要性。很多时候，老师虽然自认为把这个概念讲得非常清楚了，但从课后访谈和作业情况来看，仍有很多这个学生对理解并不透彻，掌握不好。定义 设函数 y = f (x) 在点 x0的某个领域有定义，如果函数f (x)当x → x0的极限存在，且limx → x0f (x) = f (x0),则称函数y = f (x)在点x0处连续。在进行研究前期，为了更好地了解学生状况，笔者所带的课题组对该问题进行了前测与访谈。测试对象主要是已学过该内容的大一与大二学生，其中既有数学专业学生，也包含非数学专业的学生。前测问卷如下:A. 完全理解这个概念，能结合实际判断函数的连续性；B. 有些理解，但不透彻，对一些复杂些的函数难于判断函数的连续性；C. 似懂非懂，不大明白函数连续应具备的三个条件D. 完全不理解这个概念。课题组共收回有效问卷 123 份（人次），其中数学专业 99 份（人次），非数学专业 24 份（人次）；这 123 人中有大一的学生 55 人，有大二的学生 68 人。收回的问卷情况如下。