现代数学教育教材研究：“概念”“问题”“方法”

  摘要：近年来数学教材研究在国际数学教育研究中发展非常迅速，可以说正处于最活跃的时期．有必要对数学教材研究领域中的一些基本问题进行深入地探究和厘清，以使整个领域得到更好地发展．研究在概述国际数学教材研究的历史和最新动态的基础上，阐述数学教材的地位和功能；重点分析和讨论数学教材研究的概念及所要研究的问题，并给出一个关于数学教材研究问题的分类框架；再结合有关研究案例，论述数学教材研究的方法，给出一些基本结论和建议．

  关键词：国际数学教育；数学教材研究；数学课程和教材

 

  教材（包括数学教材）的存在在人类教学活动中有悠久的历史，如中国古代的《九章算术》和古希腊欧几里得的《几何原本》就被认为是古时候东西方最有代表性的数学教材．前国际数学教育委员会秘书长 Howson 教授曾指出，人们对数学教育的历史在很大程度上是通过对以前数学教材的研究而获知的，通过教材可以了解学校数学及其教学的演变，而课程发展总是以教材的发展为先导的．与人们对教材的编写和使用相比，教材研究的历史很短．20 世纪 20 年代，国际联盟（联合国前身）从其自身定位和关注点出发，对历史、地理和家政 3 个社会学科开展了教材比较研究，此时还不包括数学学科．后来联合国教科文组织和位于德国的 Georg Eckert 国际教材研究中心联合出版了《关于教材研究和修订的联合国教科文组织指导用书》[3]，学科范围有所扩大，但主要还是局限在文科领域和宏观方面，不是专门关于数学教材研究的，因此在数学教育界很少有人关注．从数学教育研究的角度看，现代关于数学教材研究的历史更短，但最近十几年，特别是最近几年在国际范围内发展非常迅速，引人注目．在某种意义上，数学教材研究现代发展的一个重要标志可以说是 2004 年在丹麦召开的第十届国际数学教育大会（ICME-10）．当时负责大会议程的国际程序委员会在国际数学教育大会的历史上，第一次将数学教材作为独立的主题设立讨论组（DG14）．第一作者作为该讨论组的共同主席，曾亲身经历了有关过程，包括决定讨论组的焦点是“数学教材的发展和研究”．2008 年在墨西哥举行的第十一届国际数学教育大会（ICME-11）也有关于数学教材的讨论组（DG17），主题是“数学教材的作用及其变动特点（形成、使用、选用）”；2012 年在韩国举行的第十二届国际数学教育大会（ICME-12）上没有专门关于数学教材主题的研究组或讨论组，有些遗憾；而在 2016 年德国举行的第十三届国际数学教育大会（ICME-13）上，这方面的讨论组扩大为“（教学）资源（教材、学习材料等）的研究”（TSG38）．对数学教材在数学教育中的重要性的认识同样也反映在其他国际会议和出版物中．例如，2010 年 APEC（亚太经合组织）在泰国举办的“在 APEC 经济体中移植优秀的数学教育实践”会议，专门组织了关于新加坡和日本数学教材出版过程和原则的大会报告；2011 年在日本举行的第五届APEC-Tsukuba 国际会议的主题是“聚焦数学教材、电子教材和教育用具”；2011 年在上海华东师范大学召开的中小学数学教材国际会议（2011 ICSMT）则关注于数学教材的比较研究；而在 2013 年，《国际数学教育学刊》（ZDMInternational Journal on Mathematics Education）出版了由范良火和其他 3 位中英两国学者主编的以“数学教育中的教材研究”为主题的特辑；在 2015 年底，《北欧数学教育研究》（Nordic Studies in Mathematics Education）也特别出版了关于数学教材研究的特辑．值得特别指出的是，2014 年在英国南安普顿大学举办了首届国际数学教材研究和发展会议（ICMT-1），吸引了约三十个国家和地区的一百八十余人参加．第二届国际数学教材研究和发展会议将于 2017 年在巴西举行，第三届也已计划于 2019 年在德国举行．可见国际数学教育界对数学教材研究给予了前所未有的关注，这与数学教材本身在数学教与学中的作用受到关注是直接相关的．在简单回顾国际数学教材研究现代发展的基础上，以下将结合若干研究案例，分析和探讨数学教材研究的概念、研究的问题和方法论问题，并提出有关认识．

  在论及数学教材研究的概念之前，有必要先简单说明一下数学教材本身在数学教与学过程中的地位和功能．尽管教材在不同国家和教育体系中受到的重视和使用程度有所不同，但大多数的研究者普遍认为教材在现代教育背景中具备重要的甚至是支配性的作用，并且相比于其它学科，数学教学可能更加依靠教材．研究者认为，教材能向学习者展现那些并非显而易见的事物和无法直接拥有的经历，能为系统的教与学过程提供组织有序的观点和信息，从而引导学习者理解、思考和感受．另外，第一作者在研究中发现教材的作用还包括影响教师选择教学法，教材向教师传递着教学法信息，同时向教师传递着鼓励的和批判的课程环境，从而影响教师对于教学方法和策略的选择．从课程论的角度看，根据 Schmidt 等学者的说法，“两个世界——正式的目标世界和实际的课堂教学活动——在一定程度上是通过教材来连接的”．其中，“正式的目标世界”即为人们制定的课程大纲，大纲制定后需要通过教材来达到目标．不过在传统上，人们多把教材和课程标准（大纲）都视作意向课程的一部分，因为教材体现了教材编写者等人的意向．但是最近十几年来这种认识已有改变，第三次国际数学和科学调查（TIMSS）的研究者们提出了以下的“教材与课程标准（大纲）的关系”[6]（见图 1），在这一框架中，教材不是“意向课程”的一部分，而是作为潜在实施的课程，介于意向课程和实施课程之间，起到桥梁的作用．

  在 2011 年的上海中小学数学教材国际会议上，范良火提出教材研究是“对教材本身及教材与其他因素之间关系的科学研究”[7]．从宏观上，应把教材（包括其他课程和学习资源）看作一个中间变量来研究，它的产生和发展既受到其它因素（自变量）的影响，而它形成后又会影响其它因素（因变量）。根据上述基本定义，教材研究总体上可分为 3 类：一种是关于教材本身的研究，即教材作为研究的对象；一种是关于影响教材生成和发展不同因素，即教材作为因变量（相比之下，其他因素是自变量）的研究；还有一种是关于其他因素是如何受到教材的影响的问题，即教材作为自变量（其他因素是因变量）的研究，比如教材是怎样影响师生的课堂行为的．在首届国际数学教材研究和发展会议（ICMT-1）上，国际程序委员会（IPC）确定了以下会议主题：（1）教材研究（概念、问题、方法、方向等）；（2）教材分析（特点、教学方法与内容的处理等）；（3）教材比较与历史研究；（4）教材使用（教师、学生和其他人员）；（5）教材开发（表达、问题设计、出版和政策问题等）；（6）ICT 在教材中的融入（包括电子教材）；（7）其他学科在数学教材及数学在其他学科教材中的相互渗透；（8）其他与数学教材相关的问题．第二届国际数学教材研究和发展会议的主题和首届基本一致，一定程度上反映了国际数学教育界在有关问题上的共识和关注的焦点．应该指出的是，到目前为止，有关教材的研究主要集中在关于教材本身的分析（包括比较）等，尽管这类研究有重要意义且不可忽视，但对数学教材研究这一领域的发展是远远不够的．关于第二和第三类问题的研究正在受到越来越多的重视，不过总体上还较少，尤其是关于教材开发方面的研究还很缺少，也很有挑战性．鉴于教材开发的重要性，开展这方面的研究具有现实意义．

  和数学教材研究的短暂历史相对应，数学教材研究的方法论问题传统上也很少受到关注和讨论，很大程度上还处于起步阶段．上面提到过的德国 Georg Eckert 国际教材研究中心，在官方网站上则称该中心主要从历史和文化的视角进行跨学科的教材研究．范良火等[8]对数学教材研究进行的文献分析显示，约三分之二的研究是关于数学教材分析（一种教材）和比较（多种教材）的研究．与之相对应，所采用的方法是内容或文本分析的方法和比较的方法．这类研究往往聚焦于数学教材的

特征或对所关心的数学内容、教学思想或方法等进行客观、系统的定量或定性分析．在教材的比较研究中，则是在教材分析的基础上，进一步对多套教材之间的相似和不同方面进行比较，并对有关原因作出解释和探讨．以下各举一例说明．Flanders 在 1980 年代研究了美国当时中小学数学教材中新知识（而非旧知识的复习）的含量[9]．通过对从幼儿园到 9 年级的 3 个系列的美国数学教材进行分析，发现新的内容在每个年级都有出现，但是从 3 年级到 8 年级，新内容含量有减少的趋势．含量最低出现在 6、7 和 8 年级，新内容均少于 40%．由此研究者提出一个研究问题，如果教材重复内容太多，会影响学生学习的动机和行为吗？Flanders 的研究结果在很大程度上引起了数学教材改革者和开发者对美国中小学数学教材内容重复过多、螺旋性上升方面处理缺陷的注意，对美国的数学教材改革和发展产生了重要的影响，受到广泛引用．Pepin 和 Haggarty 对英、法、德的数学教材进行了比较研究，从这 3 个国家最畅销的数学教材中各选一个系列进行了分析和比较，发现各国数学教材的内容结构有巨大差异：法国教材包含活动、基本练习和引导学生理解新内容的适应性练习；德国教材则是先引入练习，然后是大范围的延伸练习，再介绍主要概念和内容；相比之下，英国教材非常简单，直接是问题，然后就是练习．研究者认为这种差异与各国教育的背景和传统有关，特别是，法国的教材结构似乎与国际著名心理学家皮亚杰的建构主义观点及其对应的教学法相吻合．由于皮亚杰曾长期担任法国巴黎大学心理学教授并在法国数学教育界具有巨大的影响，该研究似乎指向皮亚杰的建构主义观点对法国中小学数学教材的开发具有实际的影响．不过，由于研究方法的限制，这类比较研究并不能直接证实皮亚杰的理论对所研究的教材是否有影响，有多大影响．这需要不同的研究方法．关于教材使用的研究，主要是探讨数学教材如何被教师、学生甚至家长所使用，换句话说，教材是如何影响潜在的使用者，特别是教师和学生的数学教与学行为的．这类研究从 20 世纪 80 年代起逐渐受到重视．其主要方法是以问卷调查、课堂观察（包括听课和录像记录）和访谈等实证方法为基础的．美国芝加哥大学学校数学项目（UCSMP）曾研究了UCSMP 教材和其他较传统数学教材的使用者（教师）在课堂教学上的差别．研究者实地访问了 28 所学校，通过课堂听课，发现 UCSMP 教材和其他传统数学教材的使用者在课堂教学策略上存在显著差异，这种差异与各自使用的教材的特点有很强的一致性．研究结论认为，教材不仅影响了教师教什么，也影响教师怎么教，从而推断教材能给教师传递不同的教学信息，提供不同的课程环境，影响不同的教学策略的选用[11]．值得一提的是，美国学者 McNaught 等使用“实施忠诚度（implementation fidelity）”的概念进行了教材使用的研究．“实施忠诚度”是一个较新的专业术语，指在多大程度上使用者忠实于教材原意进行教学，包括“内容忠诚度”——指忠实选取教材中的内容作为教学内容的程度，“表达忠诚度”——指忠实按照教材把内容表达给学生的程度．McNaught 等研究者为此进行了一项长达 3 年的研究，考察美国教师使用两套不同数学教材的情况，通过教师的自我报告（包括“教材使用日记”、“内容记录表”）和“研究者的课堂听课”等途径收集数据，得到一些有意义的发现，如，相比于教材提供给学生的问题数量，教师布置给学生的问题数量较少，平均约为教材问题数量的 70%[12]．Remillard 和 Rezat 等学者更强调教师和教材的互动，即教师在使用教材上的能动性．Remillard 考察了两位小学教师使用教材的情况，基于教材和课堂教学存在的差异，提出了一个教师课程建构的三维模型，强调教师应该参与课程建构，因为实际的课程内容在很大程度上依赖于教师的个人信念及其在 3 方面的决策，即设计（选择和设计数学任务）、建构（执行选择或设计任务，并对学生给出回应）与课程应对（决策与整个课程相适应的内容和组织方式）[13]．Rezat以活动理论为基础提出了一个教材使用的多因素综合模型，强调以课堂作为教材使用的实际背景，具有目的性和集体性的特点，以全面研究教材的使用情况[14]．与教材分析和比较研究相比，教材使用的研究在数据收集上更具挑战性，这也说明为什么这方面的研究总体上较少．事实上，前面提到的有关文献分析发现，这方面的研究仅占到四分之一．数学教材研究中使用的研究方法还有历史的方法、文献法、定量统计的方法，等等，因研究主题和问题而定．如数学教材发展历史的研究自然用到历史的方法，探究教材和学生成绩的关系多用定量统计（如计算相关系数）的方法．但总体上这类研究很少，不赘述．最后要说明的是，尽管目前严格意义上的数学教材实验研究几乎不存在，开展这方面的研究在方法论上对研究者也是一种挑战，但由于实验方法在现代科学中的地位和价值[15]，要进一步提高教材研究质量，尤其是科学性水平，在教材研究中使用实验方法是其他方法所不能替代的．从中国现实情况看，21 世纪初实行的数学教材一纲多本的改革，使得开展严格意义上的数学教材实验研究有了更大的必要性和可能性，值得大力提倡和重视．

  数学教材研究的目的是探究数学教材改革、发展和使用的规律，促进以研究为基础和动力，提升数学教材开发和编写水平，提升教材使用效果，从而整体提高数学教育的质量．第一作者在担任 2004 年第十届国际数学教育大会数学教材专题组（DG-14）共同负责人时，共收到 11 篇由各国学者提交的论文，而作为 2016 年第十三届国际数学教育大会资源（教材、学习材料等）专题组（TSG-38）共同负责人时，共收到 68 篇提交的论文，根据已公布的统计，为大会 54 个专题组（TSG）中收到提交论文最多的 5 个专题组之一．这从一个方面说明了数学教材研究的迅速增加．从很多方面看，可以说国际上数学教材研究目前正处于最活跃和发展最快的时期．中国的数学课程发展以及伴随的教材改革和发展，具有长远的历史和丰富的实践，为数学教材研究提供了直接的动因和素材．自从中国 21 世纪初实施了数学课程和教材改革以来，中国的数学教材研究无论从数量上还是质量上都有了明显的提高．随着人们对数学教材作用认识的进一步加深，相信中国的数学教材研究会得到更加全面的发展，并在国际上占有应有的地位；希望上述分析有益于中国在这方面研究工作的讨论和发展．

[1] Howson G. The Development of Mathematics Textbooks: Historical Reflections from a Personal Perspective [J]. ZDM:International Journal on Mathematics Education, 2013, 45(5): 647-658.

[2] Nicholls J. The Philosophical Underpinnings of School Textbook Research [J]. Paradigm, 2005, 3(1): 25-35.

[3] Pingel F. UNESCO Guidebook on Textbook Research and Textbook Revision (2nd Revised and Updated Edition) [M].Paris: UNESCO, 2010.

[4] 范良火，吴立建．国际数学教材研究和发展趋势述评和分析——从首届国际数学教材研究和发展会议及其大会报告说起[J]．数学教育学报，2015，24（3）：1-6．