贵阳市小学五年级学生数学问题解决能力问题探讨

从测试结果来看，学生在四个测试任务中得分从高到低依次为简单问题（平均分为 83.49 分），简单计算的成绩（平均分为 81.34 分），过程受限的复杂问题（平均分为 77.40 分），过程开放的复杂问题（均分为 72.44 分），学生在复杂问题上的表现明显不如简单问题上的表现好。复杂问题的解决不仅需要学生根据问题情境厘清题意，灵活运用学过的数学知识与方法，采用恰当的解决策略得出答案，还需要用言辞、符号或图示等方式对答案作出解释，而简单问题只需弄清常规问题中的条件和问题中的数量关系，选取合适的运算给出正确的答案即可。相对与运用特定的数学方法解决一些常规问题，学生们似乎在综合运用所学知识解决非常规的复杂问题存在着困难。同样，学生在过程开放的复杂问题上的表现不如过程受限的复杂问题也说明这一问题，因为过程开放的复杂问题更没有特定的问题解决方法，更需要学生通过对问题情境的探索来解决问题。因此，无论是从整体还是从局部来说，学生对非常规问题的解决能力都不如常规问题好，学生在面临新的、开放的情境问题时会感觉到比常规的、熟悉的问题要吃力。
第 1 章 绪论

1.1 研究背景

在 20 世纪 60-70 年代，美国经历了“新数运动”（New Math）和“回到基础”（Back-to-Basics）运动，然而，在反思中人们发现不少制约数学教育发展的问题，如“新数运动”过分强调抽象理论，忽视基本技能和实际应用，而“回到基础”又集中训练学生的机械技能。两次数学运动都使学生缺乏对数学体验和探究能力，解决问题的能力较差。数学教育改革之路在何方？人们在反思中不断探索。1997 年，美国全国数学督导委员会宣布：“学习数学的根本目的是学会问题解决”，全国数学教师协会在 80 年代初提出将“问题解决”作为数学教育的核心。由此，问题解决成为数学教育改革的突破口，并极大地影响了世界范围内其它国家的数学教育和课程改革。继此，国际数学教育课程改革也将强调问题解决与数学应用作为数学课程改革的热点，将学生的问题解决能力看成学生综合能力发展成熟的关键。自 20 世纪 60 年代起，一些大规模的国际性数学教育比较研究（如 TIMSS，PISA 等）收集了全球几十个国家的大量的有关课程和教学的研究数据，这些研究成果推动了世界各国的数学课程及数学教学的改革。自进入 21 世纪以来，受美国数学教育改革浪潮的影响，重视问题解决成为各国数学课程目标的一个显著的特点。诸如，英国的数学课程标准，“让学生学会问题解决”的相关内容占有十分重要的位置。荷兰数学课程的一个突出特点是重视问题解决。韩国的数学课程提倡数学问题解决，引入开放型问题。①改革开放以来，我国基础教育取得了辉煌的成就，但总体水平还有待提高，原有的基础教育课程还不能完全适应时代发展的需要。②处于转型时期的经济和社会发展给基础教育改革提出了新的要求 , 赋予了新的使命。③2001 年，由教育部印发的《基础教育课程改纲要（试行）》具体目标中提出：要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及合作交流的能力”。④同年的《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准（实验稿）》）中将课程目标分为总体目标和学段目标，在总体目标的概述中，将能否用数学的眼光认识世界、分析和解决其中的问题作为学生的基本数学素养。接着又从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个方面对课程目标做了进一步的描述。2010 年完成修订、2011 年 12 月正式颁布的《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《标准（2011 年版）》）中将原来总目标中的“解决问题”改为“问题解决”，更加体现对问题意识以及解决问题综合能力培养的重视，强调在问题解决过程中，要求学生“初步从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”

1.2 研究问题

蔡金法等学者 1997 年—1999 年与贵州师范大学合作，同时进行了 3 年的对中美学生问题提出与问题解决深入研究，结果表明：我国学生在数学运算和简单问题解决方面的表现明显优于美国学生，然而，在开放性问题或者是复杂情境的问题，却没有明显的优势，甚至不如美国学生。同时我国学生在复杂情境问题上的表现要远远差于数学运算和简单问题解决方面的表现。这些研究结论体现了 1997 年国家提出素质教育背景下我国小学生问题解决能力的发展状况，在此之后的 20 年时间里，新一轮基础教育数学课程已进入面向核心素养的深化时期，数学课程对问题解决的关注更多指向了核心素养的培养。从素质教育走向核心素养发展的 20 年间，我国学生在数学问题解决方面的能力有没有得到提高，学生在复杂情境中的问题解决过程中的思维表现有没有变化？基于此，本文确立了以下两个主要研究问题：1．小学五年级学生在简单计算题、简单问题解决、过程限制的复杂问题以及过程开放的复杂问题等方面的数学表现如何?其测试成绩与 20 年前相比存在哪些差异？2．小学五年级学生在复杂数学问题解决中，其解题策略、表征模式、数学错误以及数学推理等方面的认知发展如何?其认知发展与 20 前的表现相比呈现哪些不同？

第 2 章 文献综述

本章将围绕“问题、数学问题、问题解决、数学问题解决”等关键词，对与数学问题解决相关的文献进行分类梳理，这样一方面是为了更好地界定本研究的基本概念，另一方面也为本文的研究思路奠定一定的基础。从结构上，本章首先在第一节对问题与数学问题的含义进行文献梳理，并梳理问题解决的相关理论。然后，在第二节中对数学问题解决的的相关理论进行梳理，包括数学问题解决的含义、过程模式、表征模式和数学问题解决策略等文献的梳理。最后，在第三节根据前两节的内容进行文献述评，并界定本研究中的相关概念。

2.1 问题与数学问题的相关研究

2.1.1 问题的含义

不同的学科领域对“问题”有不同的界定。《汉语大辞典》关于“问题”的解释：要求回答或解答的题目，需要解决的矛盾或疑难。《心理学大辞典》中也有对问题的定义：问题是指“在给定状态与目标状态之间存在某些障碍，需要加以克服的任务情境。”11心理学界对问题研究影响较大的是认知学派。美国纽威尔(Newell) 和西蒙(Simon)认为问题是“给定信息和目标之间有某些障碍需要被克服的刺激情境”。维克尔格伦认为：“所有问题都可以由三类信息组成：和已知条件相关的信息；和运算相关的信息；和目标相关的信息。”12数学教育家乔治.波利亚(G. Polya)在《数学的发现》中指出：“问题是指有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的”。他对问题的解释是为了达到某个目的而采取的行动。13我国心理学家对问题的定义与上面的描述极为相似，综合起来看，大多认为问题一般要包含三个基本成分：给定、目标和障碍。其中，给定指的是关于问题的已知条件的描述；目标是关于问题结论的描述；障碍指的是从给定条件到目标状态的、并不显然的解决方法。

2.2 数学问题解决的相关研究

2.2.1 数学问题解决的含义

数学问题解决在数学教育界、心理学界都备受关注。但是，对于问题解决的含义，国际上有着各自不同的理解。归结起来，主要有以下几种观点：

（一）从心理活动过程的视角理解数学问题解决

在数学学习心理学中，通常将数学问题解决理解为一种操作过程或心理过程。这一过程并不是随意的、毫无目标的，它通常是一系列有目的指向的认识操作过程，又或者是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。安德森（Anderson）把问题解决定义为受目标指引的认知性操作序列。这些认知操作序列主要包括三方面的因素：目标的指引性、操作的序列性及认知操作性。美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21 世纪的数学基础》中把问题解决定义为：将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程。此种解释着重考虑学生用以解决问题的方法、程序、策略和猜想。曹才翰在《数学教育学概论》中指出：“问题解决是指人们面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾，而自己却没有现存的对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动”。国内有学者认为，数学问题解决因为解决问题的个体将数学思想方法与数学问题匹配这一过程的影响，使其带上三个显著的特征：第一，目的指向性。数学问题解决是指向总结状态的、目的明确的活动。第二，操作序列性。数学问题解决过程中的心理操作是一个有序列的活动。第三，认知操作性。数学问题解决的操作活动必然是一个对问题的认知操作。29还有学者认为，数学问题解决不但关心问题的结果，而且更关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程。这正是数学问题解决区别于其他学科领域中用数学解决问题的过程。所以数学问题解决，理应看成是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，它一步一步地靠近目标，最终达到目标。在数学问题解决的过程中，操作者既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直接、灵感（顿悟）等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法

3 章 研究设计 .......................................................................................................................................... - 21 -

3.1 研究目的 ......................................................................................................................................... - 21 -

3.2 研究对象 ......................................................................................................................................... - 21 -

3.3 研究工具 ......................................................................................................................................... - 22 -

3.3.1 研究工具的确定 ................................................................................................................... - 22 -

3.3.2 研究工具的应用 ................................................................................................................... - 25 -

3.4 数据收集与整理 ............................................................................................................................. - 27 -

3.5 效度与信度分析 ............................................................................................................................. - 28 -

第 4 章 学生数学问题解决测试结果分析 .................................................................................................. - 30 -

4.1 测试成绩总的定量与对比分析 ..................................................................................................... - 30 -

4.2 对简单计算题测试结果的分析 ..................................................................................................... - 32 -

4.2.1 区分度与难度 ....................................................................................................................... - 32 -

4.2.2 测试结果分析 ....................................................................................................................... - 33 -

4.3 对简单问题测试结果的分析 ......................................................................................................... - 35 -

4.3.1 区分度与难度 ....................................................................................................................... - 35 -

4.3.2 测试结果分析 ....................................................................................................................... - 36 -

4.4 对过程受限复杂问题测试结果的分析 ......................................................................................... - 41 -

4.4.1 区分度与难度 ....................................................................................................................... - 41 -

4.4.2 测试结果与分析 ................................................................................................................... - 41 -

4.5 对过程开放复杂问题测试结果的分析 ......................................................................................... - 44 -

4.5.1 区分度与难度 ....................................................................................................................... - 44 -

4.5.2 测试结果的分析 ................................................................................................................... - 44 -

4.6 小结 ................................................................................................................................................. - 46 -

第 5 章 学生数学问题解决的认知分析 ...................................................................................................... - 48 -

5.1 两个平均数问题的认知分析 ......................................................................................................... - 48 -

5.1.1 学生在平均数上的错误分析 .............................................................................................. - 48 -

5.1.2 学生在平均数上的解题策略 .............................................................................................. - 51 -

5.1.3 学生在平均数上的表征模式 .............................................................................................. - 52 -

5.1.4 小结 ...................................................................................................................................... - 53 -

5.2 两个模式问题的认知分析 ............................................................................................................. - 54 -

5.2.1 学生对台阶模式问题的解答分析 ...................................................................................... - 55 -

5.2.2 学生对奇数模式问题的解答分析 ...................................................................................... - 58 -

5.2.3 小结 ...................................................................................................................................... - 62 -

5.3 对比萨饼比率问题的解答分析 ..................................................................................................... - 63 -

5.3.1 比萨饼比率问题的表征模式 .............................................................................................. - 63 -

5.3.2 比萨饼比率问题的解题策略 .............................................................................................. - 64 -

5.3.3 小结 ...................................................................................................................................... - 66 -

第 6 章 研究结论、建议与反思

6.1 研究结论

研究在第 4 章首先对学生在四个测试任务的成绩进行了总的定量分析，再分别对每一个测试任务进行详细的定量分析，得到了学生每一道试题上的答题情况。接着在第 5 章对学生的认知过程进行了定性分析，主要分析了学生在所选取试题上的数学错误、表征模式以及解题策略的特点。根据这两章的定量分析和定性分析的结果，针对本研究提出的问题，可以得到如下的研究结论。

6.1.1 学生问题解决结果：差异性与均衡性并存

根据学生在 4 个测试任务中的测试成绩的统计结果，对 4 个测试任务的横向统计分析、不同性别间的对比分析以及与 20 年前测试成绩的纵向对比分析，得出的结论是：学生在计算题、简单问题、过程受限的复杂问题和过程开放的复杂问题 4 个测试任务上的表现有显著差异，但相对 20 年前的测试成绩，这种差异却明显减小，又体现学生在 4 个测试任务上表现的均衡性。不同性别的学生在有的测试任务上的表现基本一致，在有的测试任务上又有性别差异。

（1）学生对非常规问题的解决能力不如常规问题

从测试结果来看，学生在四个测试任务中得分从高到低依次为简单问题（平均分为 83.49 分），简单计算的成绩（平均分为 81.34 分），过程受限的复杂问题（平均分为 77.40 分），过程开放的复杂问题（均分为 72.44 分），学生在复杂问题上的表现明显不如简单问题上的表现好。复杂问题的解决不仅需要学生根据问题情境厘清题意，灵活运用学过的数学知识与方法，采用恰当的解决策略得出答案，还需要用言辞、符号或图示等方式对答案作出解释，而简单问题只需弄清常规问题中的条件和问题中的数量关系，选取合适的运算给出正确的答案即可。相对与运用特定的数学方法解决一些常规问题，学生们似乎在综合运用所学知识解决非常规的复杂问题存在着困难。同样，学生在过程开放的复杂问题上的表现不如过程受限的复杂问题也说明这一问题，因为过程开放的复杂问题更没有特定的问题解决方法，更需要学生通过对问题情境的探索来解决问题。因此，无论是从整体还是从局部来说，学生对非常规问题的解决能力都不如常规问题好，学生在面临新的、开放的情境问题时会感觉到比常规的、熟悉的问题要吃力。

（2）女生在四个测试任务上的整体成绩要好于男生

四个测试任务中，女生在每一个测试任务上的平均成绩都稍好于男生，但从统计学意义上讲，女生在简单计算题（T1）和过程受限的复杂问题（T3）上的表现一样好，没有显著的差异，而在简单问题（T2）、和过程开放的复杂问题（T4）上的表现女生都要好于男生。这与 20 年前学生的表现是不太一致的，20 年前的测试中得出的结论是男女生在四个测试任务上的表现都没有达到统计学意义上的显著差异，从平均成绩来说女生仅在试题 T1 上略高于男生，在其它三个测试任务上的表现都略低于男生。
（3）学生问题解决特别是开放的复杂问题的解决能力有明显进步

从图 6-1 统计的测试结果来看，本次测试中学生在简单问题、过程受限的复杂问题与过程开放的复杂问题上的表现都要显著高于 20 年前的成绩，特别是在过程开放的复杂问题上的表现更是远远好于 20 年前的成绩（t =14.22， p < 0.001）。过程开放的复杂问题需要学生通过对问题情境的探索进行问题解决，更能考查学生对不熟悉的实际问题的解决能力。而且复杂问题的解决，不仅需要学生给出正确的答案，

还需要学生对问题解决方法进行解释，呈现问题解决过程中的推理、思维过程。学生在试题 T2、T3 和 T4 上取都能取得更好的成绩，可以说明这并非偶然。学生在试题 T4 上远远好于 20 年前的测试，更能说明学生的问题解决能力有了明显的进步。