计算器在美国小学数学教学中的使用及启示

  摘要：计算器在美国小学数学教学中的使用现状及其使用策略，对我国小学数学教学的启示是：作为工具的计算器可以在小学低年级开始使用，帮助学生进行认数、数数和强化位值的概念；教材中可以增加计算器功能的介绍，并在不同年级呈现适合孩子的内容；扩展计算器在解决问题、概念理解等方面的功能；重视教师在使用计算器教学方面的培训。

  关键词：计算器；美国；小学数学；启示

 

  随着信息技术的发展，计算器① 已经被广泛地应用在各种场所，电脑、手 机、电子词典中也都有计算器程序，大大方便了人们的生活。学会使用计算器无疑是现代公民的必备技能之一，利用计算器帮助学习也是数学教学的要求之一。《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》中提到，要 “引导学生积极有效地将计算器、计算机用于数学学习活动之中”，让学生 “能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律”，建 议“将计算器等技术作为评 价学生数学学习的辅助工具”［１］６９。但是对于重视 “双基”的中国数学教学来讲，不少人担忧计算器的使用不利于发展学生的运算思维，致使计算能力变弱。因此，虽然中国近些年已经将计算器引入小学数学课程中，但是大部分数学课堂仍然是禁止使用计算器的，有关计算器在数学学习中使用的研究也比较少。笔者注意到，全美数学教师理事会 （ＮＣＴＭ）所著的 《美国学校数学教育的原则和标准》中明确指出：“计算器和计算机这样的电子技术是教师的教学、学生的学习和数学问题解决中必备的工具。” “现代科技的计算功能，使学生能解更多的数学问题并能快且准确地进行常规性的操作或运算，从而使他们有更多的时间思考原理和建模过程。”因此，借着在美国访学的便利，笔者特别关注了美国学校数学课堂中对计算器的使用情况，并对计算器使用的必要性、有效性等研究进行综述和反思，期望能对我国小学数学中计算器的有效使用有所启示。毕竟计算器只是计算的一种工具，只有当人们按下按键它才会起作用，而作为教师应该让学生明白何时该用计算器，何时不该用，这才是教育的关键。

  全美数学教师理事会建议，在小学各个年级的数学课程中都要适当地整合有关计算器的教学内容，因为 “用计算器和计算机，学生能比用笔算考察更多的例子和表征形式，从而使他们更容易地作出猜想和研究猜想”。因此，在美国小学数学教材、课堂教学中都有计算器使用的情况。下面从教材、课堂教学和评价的现状来介绍。
  （一）美国小学教材中的计算器

  有研究者注意到，美国小学数学教材中花了大量课时去介绍计算器，一二年级就开始接触计算器了。的确，在佛罗里达州的小学里，数学课使用的教材是“ＥｖｅｒｙｄａｙＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”，在这套教材的学生参考书中，从学前期开始就给学生介绍计算器了，然后在后续的每册教材中都会结合所学的内容进一步介绍有关计算器的使用方法。比如，在一年级的教材中，通过下 面 的 表 格，介绍了用计算器跳着数数的用法。教 材 最 后 还 提 示：“你 也 可 以 用代 替， 往回数。”又如，在三年级的教材中，介绍了、和三个按键的用法，在四年级介绍了不同款式计算器中相应功能键的用法，五年级结合百分数的认识介绍了键的用法，以及含有分数的计算器的用法。当然教材为了避免学生对计算器产生依赖，在学习过程中需要口算或笔算时也会明确地作出标记，提醒学生这里不能使用计算器。同 时，在 四、五 年 级 的教材中还会 有 “击 败 计 算 器”的 游 戏，材 料 是 １—１０的数字卡片各４张，１台计算器。游戏中分三个角色：命题者、用计算器计算 者、口 算 者，由命题者抽数字卡片提出运算要求，另外两人分别用计算器计算和口算，十轮后三个人交换角色，继 续 游 戏。此 游 戏 的 目标是让学生在游戏中感受发展心算技能的必要性和优越性。可见，教材在平衡计算器的使用和纸笔计算能力的发展上作了一些努力。

  （二）美国小学数学课堂教学中计算器的使用

  笔者看到，在美国佛罗里达州当地的中小学和大学的数学课堂里，只要是数学教室，教室的墙壁或者橱柜中都会整整齐齐地挂着或者放着若干计算器。在大学和中学的课堂上，只要学生有需求，可以随时去使用计算器，但是当教师要求用纸笔去进行计算的时候，学生也会自觉地不使用计算器。因为全美数学教师理事会要求 “作为计算工具，应该在任何适宜的场合允许使用计算器，特别是解答涉及多且繁杂计算的问题时应允许使用计算器。然而，当教师和学生一起探究算理时，应把计算器放于一边以便着重于算理的理解”。在这样的指导思想的引领下，美国小学从学生开始学习数数时，便将计算器引入课堂了。在第一学段，利用计算器帮助学生认数和发现数数的规律。计算器是非常有用的教学认数的工具，它能够使低年级的学生在还没有掌握写数技能之前，更容易显示和读取他们自己所需要的数。计算器还可以帮助学生计数，按顺序正数或 者 倒 数，甚 至 于 跳 数；还 使 学生能够有机会自己利用计算器去解决一些有趣的问题。例如，凯恩老师曾经给学前期的学生教学计算器，她首先让学生知道计算器的名称，然后她告诉学生现在要利用它们探索数字。之后她用投影解释和展示了如何使用计算器的功能键，接着她发给每个学生一个计算器，给他们时间去探索和发现计算器是如何工作的。在自由按键的过程中，有些学生只是小心翼翼地按着他们认识的某些数字键，而有些学生自由地按数字键，直至数字铺满了整个显示屏，学生的好奇心被不断地激发出来，向教师提问如何改变数字，如何使用运算功能键，等等。接着凯恩老师向学生展示了计算器的自动恒定特征后，学生能够在计算器上利用自动恒定的特征去练习正数、倒 数、跳 着 数 数，并 且 不 断 地 挑战着自己数数的最高水平，而且不愿结束。由此可见，开发和利用好计算器的自动恒定功能，可以为低年级学生提供多样的计数方式，积累使用计算器探索数学的经验，感受计算器的奇妙之处。在第二学段，利用计算器发现运算规律和解决复杂问题。对于中高年级的学生来说，除了利用专门的时间学习计算器使用之外，计算器在平时的数学学习中也起着积极作用。笔者在美国佛罗里达大学附属实验学校听课中 发 现，五年级学生在数学课学习数据统计、计算平均数时，数学老师梅女士很自然地调出了电脑中的计算器，和学生共 同 使 用，既 方 便 又 快 捷。梅 女士解释道，因为这里的重点并不是计算，而是解决问题，所以选择使用计算器，以便让学生把更多注意放在平均数的意义上。课后梅女士说，教师和学生都要根据不同内容选择使用计算器，大多数时候教师都还是鼓励孩子们去思考，因为思考和口算要比计算器来得更方便和更快捷，也更容易。除课内学习外，美国小学教师还鼓励学生使用计算器去解决在校外遇到的一些有趣的问题，因为有计算器的帮助可能更容易处理这些数字或者问题，也更有利于培养学生对数学的积极态度。

  （三）评价中计算器的使用

  由于美国各州的评价要求有所不同，所以在评价中使用计算器的要求也有所不同。比如，纽约州四年级、七年级和十年级的数学测试中，包含部分要求学生使用计算器的内容。但是在佛罗里达州，标准化测试中都是不允许使用计算器的。不过，佛罗里达大学附属实验学校的教师梅女士说，在一些单元测验中，根据所学内容不同，对 使 用计算器的要求也是不同的。例如，在学习关于圆的周长和面积计算的考试中，梅女士就允许她的学生使用计算器，因为她认为这里的关键是圆的周长和面积公式的运用，利用计算器进行计算，会让学生把更多精力放在对规律的把握上，而不是计算上。

  在美国，关于是否可以在小学数学课堂中使用计算器和如何使用计算器的讨论和研究已经开展了近三十年了，即使在今天，反对在小学数学课堂中使用计算器的声音依旧存在。不 过，全美数学教师理事会强烈支持小学生使用计算器，他们认为如果要让学生理解和运用数学，学生必须精通计算器。当 然，纸 笔 计算也很重要，但是单靠这种方法将不能满足当代社会的需要，因为即使是在拐角处的零售店也是需要用到某种计算器的，如果学校不教学生如何使用这个设备，那么学生将会缺失这项必要的工作技能。因此，在美国小学数学课堂中使用计算器已经不是该不该的问题，而是如何使用更有效的问题。为了使计算器的使用更有效，我们需要了解计算器究竟对小学生数学学习有怎样的益处，又存在着哪些问题，以及已有的促进有效使用计算器的策略有哪些。

  （一）关于计算器在小学数学课堂中使用的必要性的研究

  从国际数学教育的大背景来看，二十多年来，有许多国家都在小学数学教学中使用了计算器。研究表明：计算器在数学课堂中的使用会促进学生纸笔计算技能的提高，而且他们对数学的态度也比不使用计算器的学生更积极；那些在考试中使用计算器的学生比不使用计 算 器 的 学 生，在解决问题方面的得分更高。例 如， 在 近 年 来 的 第 三 次 国 际 数 学 和 科 学 评 测（ＴＩＭＳＳ）活动中，四年级、八年级那些每天使用计算器的学生的成绩比从未使用过计算器和一个月只用一两次计算器 的 学 生 要 高。基于一些研究成果可以发现，在小学数学课堂中使用计算器的必要性，至少有以下三点理由。第一，计算器给学生提供了探索复杂问题和数学概念的机会。计算器可以帮助不同水平的学生去面对更复杂的数学材料，教会学生去关注计算器背后的想法，而不仅仅是计算的行为。比 如，用 计 算 器，学 生 能 够 处 理校园自助餐厅里的废弃物问题，教 室 重 建 项 目 问 题，甚至大量繁杂的计算问题。无论何时，当一位教师要发展他的学生解决问题的技能，而不是重点放在计算程序上的时候，计算器可能是合适的工具。换句话来说，学生要发展他们作决定和解决问题的技能的时候，使用计算器要比仅限于用纸笔计算要走得更远。因此，那些使用计算器的学生在理解数学概念和解决问题方面更好些。第二，合理使用计算器可以帮助学生提高有关计算技能。学生需要使用计算器，也同样需要纸笔计算的技能，当学生理智地使用计算器时，有助于他们对算术的理解与掌握，有助于养成良好的数感，不会妨碍学生计算技能的发展。在许多研究中，当学生有机会去使用计算器的时候，他们的纸笔计算技能提高了。例如，在帮助学生理解 “满 十 进 一”概 念 的 时 候，利 用计算器，在不断加一的过程中，当 数 字 从 ９ 变 到 １０时，可以让学生直观地感受到这一概念。又 如，在 计算器中连续输入 “３＋”，３次后会在显示屏上出现９，而输入 “３×３＝”也会出现９，这可以激发学生对乘法和加法关系的探讨。因此，使用计算器可以扩展学生对计算本身的认识和理解。第三，使用计算器的学生对 数学学习的态度更积极。一些调查研究显示，学生在学习数学时使用计算器觉得是很享受的一件事情。在数学教学中使用计算器是有益于学生对数学的态度的，计算器的使用提升了学生的数学技巧和能 力，让学生更有信心去学好数学。此外，教师的经验和大量的研究表明，在解决 问题时，大多数学生能够养成良好的判断去决定使用还是不使用计算器，这对培养学生自主学习数学是非常有好处的。

  （二）关于使用计算器可能带来的问题的研究

  二十多年来，由于美国学生在大学入学考试 （如ＳＡＴ）及国际测试 （如 ＴＩＭＳＳ）中的成绩不佳，有人归因于中小学阶段使用了计算器。即使这是原因之一，其产生的影响也是极其微小的，因为成绩不好的问题早在计算器使用之前就已经发生了。那么，质疑在中小学数学课堂使用计算器的人们，主要担心使用计算器后可能带来哪些问题？归纳起来主要有以下四点。首先，计算器的使用可能会引起学生对计算器的依赖，不知道如何适当地使用计算器，进而逐步地丧失独立地进行一些基本计算的能力。其次，当教师鼓励学生自由地使用计算器去尝试各种计算时，可能会使学生忽视计算背后的理论依据，这不利于学生的数学理解。再次，计算器可能会妨碍学生发现和了解基本的数学概念，并使他们对自己的数学能力产生错误的自信。最后，计算器会阻碍学生看到真正的数学，了 解数学内在的结构和数学美。这些担心不无道理，但是并不足以推翻对计算器的使用。当然，这些观点也提醒了使用计算器教学的教师，让他们在教学中尽量避免或减少上述问题的出现。虽然数学教育家对在中小学使用计算器也没有确定的把握，但有许多研究证明：在学习数学中使用计算器，最坏也不会对传统的数学学习产生负面效应，但是如果用得好，可以促进学生的学习。正如全美数学教师理事会所阐述的：“计算器在支持和推动小学数学学习中有着重要的作用。它们的选择性和战略性的好处是双重的。在我们以信息和技术为基础的 社 会 中，计算器可以促进高阶思维和推理，进而解决问题，它们还可以提高学生的理解和流畅地进行算术运算。”

  （三）关于如何使用计算器更有效的研究

  在小学数学课堂上有效地使用计算器也是当前美国小学数学教育界关注的问题，有一些研究成果非常有意义。第一，如果学生已经掌握了数学基本事实，那 么计算器可以在数学课堂中使用。这里的数学基本事实，笔者理解为基本计算的事实和一些与计算有关的运算法则的事实。有研究表明：“学生掌握数学事实的水平成为决定计算器是否会妨碍他们学习的决定因素。”换句话说，学生对数学基本事实掌握得越牢固，计算器对他们数学学习的妨碍就越小。第二，尽量将计算器的使用纳入到一些探索性、开放性或者综合性的数学问题中。用问题和讨论帮助学生积极思考关于使用计算器程序得到答案的过程，让学生感觉到计算器在解决这些问题的时候是一支“快速铅笔”，用它可以解决复杂的问题，而不是基本事实问题。第三，在学生决定使用计算器之前，先请他们 说明选择使用计算器的理由。这样可以避免学生盲目、自由地使用计算器，从而更好地去根据问题选择用怎样的计算方 法，是 口 算，还是用计算器算。特 别 是，可以混合呈现需要使用计算器和口算便能解决的问题，让使用计算器的学生在解决某些问题上比不使用计算器的学生显得更笨拙，从而使学生理智地选择使用计算器。第四，给学生留有足够的时间去使用计算器进行数学探索活动，因为没有对时间的焦虑，可以使学生更加专注于数学世界。例如，研究圆的周长和半径的关系的时候，可以让学生使用计算器找出不同圆形物体的周长和半径之间的关系，他们可以超越问题的解决，看到圆周率概念的出现。

  在对小学数学课堂教学中使用计算器的意义和价值的实践和研究上，我国小学数学教育界正处在起步阶段，目前大多数的研究集中在有关四年级 “用计算器计算”和 “用计算器探索规律”的课例研究上。因此，借鉴美国小学数学教学中计算器使用的经验，笔者认为可以得到以下几个方面的启示。第一，作为工具的计算器可以在第一学段 （一 至三年级）开始使用。笔者曾经研究过国内的小学数学课本，苏教版和人教版小学数学课本中有关计算器的内容在一至三年级是缺失的，在利用计算器帮助学生理解数学概念上有所不足。在第一学段使用计算器可以帮助学生进行认数、数数和强化位值的概念，特别是计算器的一些自动恒定功能的使用，还蕴含了数学建模的思想。第二，教材中可以增加计算器功能的介绍，并 在不同学段呈现适合学生的内容。由于我国目前大部分小学数学教材一般在四年级上学期开始介绍计算器及其使用，但是之前和后续教材中一般安排使用计算器的机会比较少，使得计算器方面内 容 不 连 贯，不利于学生对计算器产生积极的态度。比如，学习了 百 分 数 之 后，可 以 介 绍 键 的 两 个功能。功能一，％可以按百分比形式显示乘积结果。比如，输入一个 数５０，然 后 键 入 “×”，接 着 输 入 第 二个数１５，最后 按 键，计 算 器 会 显 示７．５，即 计 算 器默认的运算 是５０×１５％。功 能 二，％还可以执行带百分号的计 算。比如输入一个数 ３０，然 后 键 入 “＋”，接着输入 第 二 个 数 ２５，最 后 按键，计 算 器 会 显 示３７．５，这里计算器默认的运算是３０＋３０×２５％。但是目前在小学数学教材中，并没有此介绍。而且对单数值记忆按键 （Ｍ＋，Ｍ－）的介绍也比较少，因此可以增设这块内容的介绍和活动。第三，扩展计算器在解决问题、概念理解等方 面的功能。这一点上，我国已经在计算器探索规律方面作了很好的尝试，但是利用计算器促进学生概念理解和解决问题上还要进一步加强。例如，可以在数学综合实践活动中增加使用计算器计算的机会。第四，重视教师在使用计算器教学方面的培训。笔者曾对所培训的小学数学骨干教师进行调查，９０％的教师不会使用计算器上的单数值记忆按键和百分号键。教师应该具备使用计算器学习和教学的经验，应该知道计算器能够有利于解决问题和增进对数学的理解，也知道何时让学生把计算器放在一旁，并知道如何平衡用计算器计算和口算、笔算的关系。因为没有人希望学生成为依靠计算器而不是依靠他们自己思考的人，教师应该让学生学会使用多样化的工具，更好地学习和思考数学。

 

［１］中华 人 民 共 和 国 教 育 部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｓ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．

［２］全美 教 师 理 事 会．美国学校数学教育的原则和标准 ［Ｓ］．蔡 金 法， 译．北 京： 人 民 教 育 出 版 社，２００４：２６．

［３］吴海青．中美小学数学计算教学比较 ［Ｊ］．世界教育信息，２０１１ （１１）．