硕士论文网第2020-09-10期，本期硕士论文写作指导老师为大家分享一篇
岩土工程文章《Fourier变换的结构瞬时模态参数识别——基于分数阶分析》，供大家在写论文时进行参考。
首先介绍了属于非线性调频信号的正线调频信号的数学模型和时—频特性，接着阐述了非平稳信号瞬时频率的基本概念，随后引入了结合分数阶 Fourier变换和三次多项式函数来识别时变结构瞬时频率的方法，并且详细介绍了该方法的具体实现步骤。按照合适的分段长度对待估信号进行分段，采用两级二维峰值搜索法估计出各分段信号的调频率后对各段信号进行解线性调频处理，此时的信号近似为平稳信号，利用快速傅里叶变换便可识别出各个分段信号中间时间点处的瞬时频率值，再用三次多项式函数对各瞬时频率值进行插值，拟合出非平稳信号的时—频曲线图，即可得到各个离散时间点处的瞬时频率值。 为了验证分数阶 Fourier 变换和三次样条插值法识别瞬时频率的有效性，首先利用一 SFM 信号进行仿真分析，识别出的瞬时频率值与理论值可以较好地吻合，验证了该方法的可行性和有效性。接着利用一个时变拉索结构的振动响应信号来验证该方法应用于实际工程的可行性。为了实现拉索结构的时变特性，利用电液伺服加载系统作动器改变施加在拉索上的拉力从而改变拉索在冲击振动过程中的刚度。分别测得拉索在线性变换和正弦变换的拉力作用下的冲击振动加速度响应信号，将用本章方法识别出的各离散时刻一阶固有频率与瞬时频率理论值进行比较分析，归一化误差均未超过 2%，验证了方法能较精确地识别出时变结构的瞬时频率，具有一定的工程可行性与有效性。
第一章 绪论
1.1 研究背景及意义
桥梁作为公路、铁路运输的关键设施以及城市交通网络中的关键节点，在国民经济和社会生活中起着至关重要的作用。然而桥梁结构在建成后漫长的服役过程中，遭受自然或人为灾害时可能出现突然失效或坍塌。例如 1940 年美国的塔科马海峡大桥，建成还不到四个月就因风振而突然发生坍塌，造成了重大的经济损失。这些桥梁结构突然失效所带来的灾难使得桥梁结构的整体健康及安全状况日渐受到人们的关注与重视。因此，为了确保桥梁结构安全、保障人民财产，有必要对桥梁结构进行长期或定期的健康监测和安全评估。 Housner 等人[1]认为结构健康监测（Structural Health Monitoring, SHM）就是使用无损传感技术，能够表明结构存在损伤或退化的主要性能指标的变化，并对其进行检测。国外最早是在英国总长为 522 米的 Foyle 桥上布置传感器，建立桥梁健康监测系统，在不同风荷载条件下对桥梁的受力性能进行研究[2]。我国对 SHM 的研究起步较晚，但发展很快。国内秦权[3]对桥梁健康监测系统较早地展开研究，利用青马悬索桥的实时监测系统采集到数据，研究了该桥的模态特性[4]。同济大学的孙利民教授也在健康监测系统设计、损伤诊断和模态参数识别等方面[5-8]进行了研究。欧进萍院士和哈尔滨工业大学的李慧教授课题组深入研究了桥梁智能健康监测系统[9-11]。香港理工大学的徐幼麟教授基于实时在线监测对大型桥梁的参数识别、风致振动等作了多方面的研究[12-13]。 随着对桥梁结构健康监测、状态评估越来越密切的关注，作为其核心技术、理论基础的模态参数识别和损伤识别也逐渐引起学者们的广泛关注。模态分析[14]是用以研究结构动力特性的方法，当结构的固有振动特性如固有频率、模态振型和阻尼确定时，模态也就随之确定。识别这些模态参数的过程称为模态分析。识别模态参数是结构模态分析的主要任务，但并不是桥梁工程研究领域的最终目标，而是通过识别结果，了解结构的固有振动特性，为结构的有限元模型修正、损伤检测、健康监测及使用状态评估提供依据。 传统的试验模态分析方法需测试系统的输入、输出信号，利用频率响应函数进行模态参数识别。对于一些大型复杂的土木工程结构体积较大，不仅激励施加困难且费用昂贵、难以测量环境干扰、自振频率较低等，使该方法的应用受到局限。因此可以采用在只有输出条件下对结构进行模态参数识别的方法，即工作模态分析（Operational Modal Analysis，Output-Only Modal Analysis，OMA）方法[15]。该方法无需对结构施加人工激励也不影响结构的正常运营，所以费用低、方便省时等便成为该方法的显著优势[16]。
1.2 国内外研究现状
近几年来研究者已经提出们多种工作模态参数识别方法。其中，传统的工作模态参数识别方法包括频域法和时域法。 频域法物理意义明确，通常是根据结构的频率响应函数对结构进行模态分析。当仅已知输出响应时，频响函数被输出响应的功率谱密度函数取代。其中，峰值法（Peak Picking, PP）和频域分解法（Frequency Domain Decomposition, FDD）是较为常用的频域方法。PP 法操作简单、识别速度快、实用，但结构阻尼无法识别，同样也无法准确识别结构的密集模态。FDD 法不仅操作简单、识别速度快，还具有一定的抗噪性能。但是，频域分解法同峰值法一样，对于非白噪声信号及强阻尼系统，识别效果并不准确。随后研究者们又提出了增强频域分解法和最小二乘复频域法。频域法因其快速、物理意义明确等优点得到快速发展，但在傅立叶变换过程中会出现谱泄露导致精度下降，且对模态密集、大阻尼的情况辨识结果不够准确。 时域法直接利用时域响应识别模态参数，相比于频域法不仅可以更好地识别模态阻尼，而且可以更有效地分离密集模态。其中，较为常用的时域方法有自然激励技术法（Natural Excitation Technique, NExT）、随机子空间法（Stochastic Subspace Identification, SSI）以及特征系统实现算法。时域法虽能够反映结构的真实工作模态，但是对噪声较敏感，易产生虚假模态。 然而，在实际工程应用中，很多土木工程结构在其运营过程中会表现出一定程度的时变特性，在发生损伤时结构模态参数会随着其物理参数如刚度和阻尼特性的变化而变化，故结构响应信号的频率是随时间变化的。此时仅仅采用基于平稳假定的频域法或时域法不能同时提供时域和频域的局部特性，因此就产生了模态参数识别的联合时—频域的方法，通过时间—频率二维平面更好地反映信号的瞬时特性。其中以小波变换和希尔伯特变换为代表的时—频分析方法得到广泛应用。
第二章 分数阶 Fourier 变换的基本理论及其实现
2.1 分数阶 Fourier 变换的研究发展及应用现状
不管是在连续时间还是离散时间信号处理中，传统的 Fourier 分析的地位都是非常重要的。作为一种全局性变换，相比于时变的非平稳信号，传统的 Fourier 变换更适用于分析处理平稳信号，只能在整个时域或整个频域上将信号展现出来，故信号在任意时间点的频率特征无从得知，然而得到频率与时间的对应关系对于分析处理非平稳信号是至关重要的。针对传统 Fourier 变换分析处理非平稳信号的局限性，自 20 世纪 40 年代以来，人们不断深入研究 Fourier 变换的理论，将这一方法不断地改进并将其推广，其中分数阶 Fourier 变换在近几年成为信号处理领域的研究热点。 分数阶 Fourier 变换这一概念最早在 1929 年由 Wiener[51]提出，为了使传统Fourier 变换更加完善，他从特征值的角度出发去修改 Fourier 变换的特征值，这是与分数阶 Fourier 变换有关的最初理论。 Condon[52]在 1937 年也对分数阶 Fourier 变换的基本定义进行了研究，但当时他并没有对其基本性质进行讨论，也未使用 FRFT 这一术语。1961 年，根据广泛的研究背景并参考 Condon 所提出的 FRFT 定义，Bargmann[53]更为深入地研究了它的基本定义，认为分数阶 Fourier 变换有积分变换和 Hermit 多项式这两种不同的数学定义方式。 1939 年 Kobor 受到 Fourier 变换的分数幂形式理论的启发，提出了不同于Wiener 的分数阶 Fourier 变换的定义形式。1959 年 Patterson 将 FRFT 作为广义变换工具提出，他的理论于 1974 年被 Knare 证明。之后，学者们不断修正分数阶Fourier 变换的定义和算法。而分数阶 Fourier 变换的应用方法直到 1980 年才由Namisa[54]提出。他利用特征值与特征函数的关系，提出了分数阶 Fourier 变换的概念。随后在此基础上，1987 年 McBride 和 Kerr[55]从积分角度给出了 FRFT 更为标准、严谨的数学定义，明确了 FRFT 的一些重要性质，建立了完整的理论系统。 Lohamann 和 Mendlovic、Ozaktas 一起参与到分数阶 Fourier 变换的研究工作中，结合 WVD 解释了它的物理意义，即信号的表示轴在时—频平面的旋转。在1993－1994年期间，Almeida[56]再次分析了分数阶 Fourier变换并将其解释为 “角”Fourier 变换。自此，分数阶 Fourier 变换才逐渐得到国内外研究者的关注。 虽然分数阶 Fourier 变换在信号处理领域的应用前景很广泛，但由于缺乏明确的物理解释和快速算法一直未得到深入研究。直到 1996 年一种与快速 Fourier 变换计算量相当的采样型快速离散算法[57]的提出了，FRFT 才逐渐成为该领域的研究热点。作为传统 Fourier 变换的广义形式，它的核函数可以看作是 chirp 基分解，可以在时—频域上对 chirp 类非平稳信号进行处理。 国内对分数阶 Fourier 变换开始研究的时间不算晚[58]，但是已发表的论文数量和质量表明仍然处于发展的初始阶段。陶然、邓兵[59-60]等领导的课题组是国内较早对分数阶 Fourier 变换展开研究的课题组，他们结合国外研究方法，成果颇丰，为国内分数阶 Fourier 变换研究领域添砖加瓦，成为该算法广泛应用的垫脚石。
2.2 分数阶 Fourier 变换的定义及其性质
在桥梁结构的模态参数识别中，信号处理是最重要的环节之一，数学分析则是信号处理的重要保障。传统的 Fourier 变换作为一种应用成熟广泛的数学工具，物理意义明确，将信号变换到频域来反映信号在频域的整体信息，展现出信号能量在频域内的分布。以 Fourier 变换的性质和特点为基础，分数阶 Fourier 变换进一步研究发展了 Fourier 变换不具备的新优势。本节从数学角度出发，给出了分数阶 Fourier变换几种不同的定义形式、相互关系及其一些基本性质，为其在实际工程中的应用奠定了基础。 本章首先介绍了 FRFT 的研究进展以及在信号处理中的应用，与常用的二次时—频分布不同的是，它不会产生交叉项；相较传统的 Fourier 变换，它的灵活性更强。接着分别从线性积分和特征值分解的角度给出了分数阶 Fourier 变换的定义并用算子的形式介绍了其若干重要性质以及分数阶卷积、相关定理。用一方波信号验证了当变换阶次从 p＝0 逐渐变换到 p＝1，信号便由时域连续变换到频域中，且随着变换阶数的增大其对信号的聚集程度就越高。之后重点介绍了 Ozaktas 提出的采样型离散算法，因其具有与 FFT 相同的运算量而得到广泛应用。最后对一 chirp信号进行仿真分析，验证了不管有无高斯白噪声干扰 p＝1 时的 FRFT 就是传统的Fourier 变换；但是当存在噪声干扰时，FRFT 在最佳变换阶次下有明显峰值以区分chirp 信号和噪声，而传统的 Fourier 变换则显得无能为力。
第三章 分数阶 Fourier 变换在非平稳信号中的应用
3.1 基于分数阶 Fourier 变换的 LFM 信号的检测与参数估计原理
3.2 噪声对 LFM 信号检测与参数估计的影响
3.3 基于分数阶 Fourier 变换的 LFM 信号检测及参数估计
3.4 采样频率对 LFM 信号参数估计的影响
3.5 本章小结
第四章 基于分数阶 Fourier 变换的时变结构瞬时频率识别
4.1 正弦调频信号
4.2 基于分数阶 Fourier 变换的瞬时频率识别
4.3 仿真分析
4.4 试验验证
4.5 本章小结
第五章 结论与展望
5.1 结论
在各种自然因素、人为因素的长期作用下，实际工程中的很多土木工程结构在其运营过程中结构性能发生变化，成为时变结构，这时对结构的长期健康监测得到的数据本质上是时变的非平稳信号，对非平稳信号和时变结构的模态参数识别方法进行深入研究就具有重要的工程实用价值。论文主要以分数阶 Fourier 变换在非平稳信号与时变结构瞬时频率识别中的应用为研究目标，通过仿真分析和试验对各理论和所提出方法进行了验证。 论文的主要工作和结论包括：
1. 介绍了土木工程结构模态参数识别的研究背景及意义，对国内外在该领域的研究进展进行回顾，归纳并简要叙述了目前几种典型的工作模态参数识别方法及应用，并论述了论文的研究目的和主要工作。
2. 介绍了 FRFT 的基本定义、基本性质，着重介绍了基于 Ozaktas 采样型离散算法的快速数值计算方法，详细说明了量纲归一化处理的两种常用方法。并通过仿真实验说明 Fourier 变换就是分数阶 Fourier 变换在变换阶次为 1 时的的一种特例，后者含有更丰富的信号变换信息。信噪比一定时，信号在最佳变换阶次下分数阶 Fourier 域中的频谱比 Fourier 域中的频谱更加集中，能量聚集处的幅值也要大得多。
3. 阐述了 FRFT 用于 LFM 信号检测与参数估计的基本原理，不同于 WVD，分数阶 Fourier 变换作为一种线性变换，不会产生交叉项的干扰，利用一线性调频信号的仿真结果验证了在最优变换阶次的分数阶 Fourier 域中线性调频信号呈现出冲激函数的特征，具有很好的时—频聚集性。讨论了信噪比、采样频率等因素对单、多分量线性调频信号检测与参数估计的影响，并通过仿真进行了验证。由于加性高斯白噪声的能量在整个时—频平面内是均匀分布的，因此在任何分数阶 Fourier 域中都不会有峰值产生。随着信噪比的不断增加，当信噪比在某一特定值或大于该值时，最佳变换阶次基本保持不变，且对初始频率和调频率估计值的归一化误差均小于 1%，具有较高的估计精度。在适当的欠采样倍数范围内，直接利用 FRFT 可以较为准确地估计出线性调频信号的调频率，但并不能准确地估计出初始频率。在过采样条件下，可以较精确地估计出初始频率和调频率。
4. 建立了基于 FRFT 的时变结构瞬时频率的识别方法，即分数阶 Fourier 变换和三次样条插值法识别瞬时频率。对一个时变拉索结构进行试验，通过改变施加在拉索上的拉力来改变拉索在冲击振动过程中的刚度从而实现该拉索结构的时变特性，分别在拉力线性变化和正弦变化时采集拉索的振动加速度响应。该方法识别出的各时刻一阶固有频率与瞬时频率理论值的归一化误差均未超过 2%，验证了该方法识别时变结构瞬时频率的精度较高，具有一定的工程可行性与有效性。
5.2 展望
桥梁工作模态参数识别取得了丰厚的研究成果，论文利用分数阶 Fourier 变换识别时变拉索结构的第一阶瞬时模态频率，但在识别效率、识别精度、鲁棒性以及经济性等方面还需进一步研究与改进；现场采集的信号不可避免会受到噪声的干扰，如何对信号去噪或降噪，提高识别方法的抗噪性仍是一个困难。 目前基于桥梁健康监测数据的工作模态参数识别研究大都集中在假定结构系统是线性的，结构的动力响应是平稳的，因此识别出的结构参数是确定性的，即识别出的结构参数如自振频率是不随时间变化的。但处于实际工作状态下的桥梁不可避免地存在不确定性，而且这种不确定性还是多源的，包括测试不确定性、环境不确定性、模型不确定性和数值不确定性等。不确定性因素的影响有时会淹没或者掩盖结构响应的真实信息，甚至得出错误的结论。因此，有必要在结构动力安全性分析中引入统计方法来充分考虑这些误差或不确定性的影响。模态参数识别不确定性定量的方法通常有贝叶斯理论和经典概率理论两大类。 此外，被监测的桥梁无论其承受的是工作荷载、复杂的环境荷载，还是强震、强风等自然灾害荷载，结构都会表现出一定程度的时变和非线性特性，需要用到时—频分析方法。因此基于监测数据的桥梁工作模态参数识别真正的难点和挑战在于结构的“时变与非线性”和“不确定性”。考虑不确定性的结构非线性模态参数识别目前还是一个前沿的研究领域，无论是在理论方面还是在实际应用方面均面临巨大的挑战。
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