土工动力接触问题的物质点法研究分析

将粘性传输边界和锥形粘弹性传输边界（cone boundary）引入了物质点法。针对复杂弹塑性问题，材料的塑性和应力波传播路径上材料特性的任意变化引起的应力波的反射，都导致难以推导准确的传输边界公式。将粘性边界和锥形粘弹性边界应用于土体的两种弹塑性模型——MC 模型和密度相关本构模型，发现粘性边界在较低冲击荷载条件下计算结果与对称边界和锥形粘弹性边界差异不大，而在较大冲击荷载条件下前者则显著优于后两者。针对密度相关本构模型，传输边界即使不考虑塑性，也需要修正其表达式的系数。
第 1 章 绪论

1.1 选题背景和研究意义

1.1.1 大变形问题

土是人类社会最古老的工程材料，但目前人类对土的探索和认识还远不能满足实际工程建设的需要。土体的大变形对岩土工程中的结构和大量的应用会产生重大的影响，包括软土地基基础、边坡的蠕变与破坏、桩击、海底管道的安装和维护等。这些结构的安全设计和分析需要考虑土体在大变形时的行为。长期以来，土体大变形的数值模拟一直具有很大的挑战性，主要因为两个经常遇到的困难：大变形可能引起边界条件[1]以及土体与周围结构相互作用的方式的变化[1, 2]；土体行为是高度非线性的，也是加载历史和应力状态相关的，大变形时尤其如此。同时处理几何非线性和材料非线性已成为考虑土体大变形时建模的主要问题[1]。有限元法是近半个世纪以来最成功的数值方法之一，在岩土工程中得到了广泛的应用。根据坐标的选取，这种数值方法可分为拉格朗日法和欧拉法。因计算网格与材料固连，拉格朗日法自动满足质量守恒，材料界面和自由表面易于明确描述[3]。岩土工程中，完全拉格朗日(total Lagrangian，TL)有限元法和更新拉格朗日(update Lagrangian，UL)有限元法是最常用的方法[2]。然而，传统基于拉格朗日法的有限元方法不能很好地应用于大变形问题，因为它可能会遇到严重的网格变形、计算不准确、效率低下以及可能的非收敛解等问题, 即使网格中只有很少的单元发生严重变形，计算也必须停止。相应的补救措施如网格重划分[2, 4, 5]或自适应网格[6-9]，可能有助于部分缓解这些问题，但不能总是保证收敛性，并经常会导致计算成本的大幅增加[10]。相反，欧拉方法的计算网格固定在空间中，坐标不随物体运动，因此没有网格畸变的问题，适用于大变形分析[11]。但当计算区域包含多种材料或自由表面时，欧拉方法的缺点就显现出来。在这种情况下，物体运动过程中某些单元格中存在不止一种材料，材料界面和自由表面的位置难以精确确定，这些单元被称为混合单元[3]。为了计算这些单元中的物理量并在单元边界上进行传输，需要进行特殊处理。

1.2 文献综述

1.2.1 物质点法的应用及发展

物质点法是质点网格法(particle–in–cell method，PIC)的最新发展。PIC 方法最初用于计算流体力学中对高度扭曲的流体的模拟[39]，流体被离散为一组质点，质点只携带质量与位置信息，计算网格使用欧拉网格，计算网格和质点之间的信息交互则通过插值函数完成，但这种方法存在高数值耗散的问题[11, 40]。针对这一问题，Brackbill 等人让质点携带更多的物质信息, 包括动量和能量等，提高了 PIC 的精度，称为流体隐式质点法（(fluid implicit particle，FLIP）[41, 42]，随后又提出了一个质量矩阵公式以进一步提升了该方法的精度，降低了数值耗散[43]。PIC 方法的要点包括网格和质点之间的信息插值，以及哪些求解变量应赋予网格，哪些求解变量应赋予质点，其总的趋势是将更多的物质信息赋予质点。这一趋势在物质点法中进一步延续，质点携带了所有物理信息，本构方程也在质点上进行求解，利用质点离散等效积分弱形式建立动量方程，并采用显示时间积分[14, 15]。物质点法的物质点离散示意如图 1.1 所示，网格只是一个临时的求解动量方程的载体，单个时间步内的运算过程见图 1.2。

第 2 章 物质点法

2.1 引言

反映连续体运动规律的控制方程是一组偏微分方程，就实际工程而言，用解析方法求精确解一般难以实现，因此常用数值方法求取这类问题的近似解。相应的数值求解方法依据现有研究主要可以分为两大类[224]。一类是直接根据微分方程本身，利用初始条件与边界条件进行求解。这种方法概念清晰，多适用于流体力学问题和几何形状较为简单的固体力学问题。第二类方法是利用定解条件和原微分方程建立起等价的积分形式，然后对积分形式求解[11]，这种方法更适用于几何形状较为复杂的固体力学问题。为降低试探函数的连续性要求，实际应用中常对等价积分形式进行分部积分，化为积分弱形式，这种处理对实际问题往往能给出更真实的解[224]。物质点法正是基于积分弱形式构建起基本求解过程。本章先介绍了标准物质点法的基本理论和具体程序实现。标准物质点法中，材料界面附近容易出现质量较小的背景网格结点，这往往会导致直接采用物质点法可能会产生计算不稳定或较大的数值噪声，因此引入了小质量背景网格结点处理技术——分布系数法。标准物质点法还存在另一个问题，物质点穿越背景网格时形函数梯度的不连续也会引起误差。因此进一步介绍了可以克服这种问题的双域物质点法的基本理论和具体程序实现过程，并利用分布系数法处理了这种算法中存在的材料边界处零质量有内力的背景网格结点。这种处理材料边界的方法计算量较大，尤其是对表面积较大的物体，因此提出了一种改进方法——空单元移除法，提升了计算效率。同时，针对双域物质点法背景网格结点内外力计算方法不一致的问题，使背景网格结点内外力计算方法一致，提升了材料边界处应力和位移计算的精度。然后采用若干算例的解析解或较为精确的数值近似解对原算法和改进算法进行了测试和验证。最后简单介绍了弹塑性问题的本构积分算法和物质点法中人工阻尼的应用，以作为后续要模拟的实际工程问题的基础。

2.2 标准物质点法

2.2.1 基于动量方程和定解条件的等效积分弱形式连续体动量方程为：

第 3 章 物质点法接触处理技术 ................................................................................ 62

3.1 引言 ................................................................................................................... 62

3.2 一般接触算法 ................................................................................................... 62

3.3 改进接触算法 ................................................................................................... 66

3.4 物质点法接触算法与有限元法接触算法的异同 ........................................... 68

第 4 章 传输边界 ........................................................................................................ 83

4.1 引言 ................................................................................................................... 83

4.2 荷载输入 ........................................................................................................... 83

4.3 针对线弹性材料的一维粘性边界 ................................................................... 87

4.4 针对线弹性材料一般情形下的近似传输边界 ............................................... 89

第 5 章 强夯的物质点法模拟 .................................................................................. 124

5.1 引言 ................................................................................................................. 124

5.2 基于强夯问题对刚柔接触算法的改进 ......................................................... 125

5.3 土体本构模型 ................................................................................................. 128

5.4 验证 ................................................................................................................. 128

第 5 章 强夯的物质点法模拟

5.1 引言

强夯是岩土工程动力接触问题中的一个典型问题，是一种高效、经济的地基处理方法。它利用夯锤自由落体产生的动能，在土体中产生较大的冲击波和较高的动应力，以提高土体的密度，从而增加土体的强度，降低土体的压缩性。随着我国西部大开发战略的推进，大量山区机场被纳入改扩建和新建规划中，山区支线机场建设迅猛。同时，东南沿海及南海岛屿等地正在或规划进行填海造陆，国内许多山区高速路的建设中也面临着许多高填方工程。这些工程对地基的变形和稳定性要求较高，强夯法因其高效性和经济性逐渐成为处理高填方地基的重要方法。而山区机场、山区高速公路和填海造陆等高填方的填料多为碎石填料或土石混合料，本文将强夯的研究内容锁定于碎石料强夯的数值模拟。强夯过程中夯锤底面产生的冲击荷载平均值的最大值一般在 10MPa 到数十MPa 量级，根据 4.7.4 节的模拟结果，此量级的冲击荷载条件下，本文针对密度相关本构模型提出的修正粘性边界可以达到较为理想的计算效果。在本课题组开发的双域物质点法程序的基础上，关于强夯已经进行了初步的研究[191, 255, 256]，主要面临的挑战有：1）数值模拟过程中，夯锤因振动反弹与土体之间会逐渐产生不真实接触的缝隙，且双域物质点法在材料边界处的应力计算精度不高，两个因素都会影响到变形和应力计算结果的准确性；2）考察两点夯击问题时计算边界处开始产生明显的应力波反射，需要进一步扩大计算域，增加了计算成本；3）考察夯点布局（正方形与正三角形）的影响时，采用单点夯击模拟过程中的计算域将会导致计算结果因边界处极其显著的应力波反射而产生非常明显的变形和应力计算的错误，增大计算域又会导致增加的时间成本过高。本章在之前初步研究的基础上采用改进后的双域物质点法、接触算法和传输边界以及密度相关本构模型，首先对承德机场的碎石料强夯现场试验进行了模拟，并对模拟结果和试验结果进行了对比分析。然后系统研究了碎石料强夯的实施效果，分析了强夯的变形规律和能量转换规律，全方位比较了重锤低落和轻锤高落的差异，提出了单点夯击有效加固范围的公式，并分析了多点夯击中夯点间距、夯点布局的影响，以及软弱下卧层对强夯效果的影响。

第 6 章 结论与展望

6.1 主要成果及结论

本文以物质点法程序作为计算工具，模拟大变形问题，推进物质点法在岩土工程动力接触问题中的应用研究，并采用改进后的物质点法、接触算法和传输边界对碎石料的强夯进行了数值模拟，系统研究其机理、揭示其规律以期指导工程实践。本文的主要研究成果及结论如下：

1）对本课题组原有的标准物质点法和双域物质点法程序进行了改进，引入了小质量背景网格结点处理技术——分布系数法，提高了计算的稳定性，减少了数值噪声，提升了计算效率。针对双域物质点法，利用分布系数法处理零质量有内力背景网格结点，并提出一种改进方法——空单元移除法，空单元移除法的稳定性和计算效率更高。基于双域物质点法的特点，使背景网格结点内外力计算方法一致，提升了双域物质点法在计算材料边界处应力和位移时的精度。

2）完善了双域物质点法中的接触算法程序，并对其加以改进，通过能量守恒条件和动量守恒条件进行接触发生后的接触力计算，改进的接触算法实际上是以前后两个时刻的中值速度来构造位移连续条件。引入能量守恒条件后的改进接触算法可以明显提升低速碰撞时体系的能量守恒性。引入了克服虚假接触的处理技术，有效避免了接触提前发生，位移计算结果更加真实，该技术同样可以提升低速碰撞时体系的能量守恒性。

3）将有限元法中的薄层界面单元引入物质点法，称之为物质界面法，界面单元不是固定在背景网格上，而是固定在若干层物质点上，因此可以在空间中发生移动，布置更加灵活。但该方法也有很大的局限性，除有限元法中界面单元的固有问题外，因物质界面较厚，会导致界面的应变与试验中的实际情况相去甚远，同时物质界面也难以模拟薄层土体的接触问题。

4）将粘性传输边界和锥形粘弹性传输边界（cone boundary）引入了物质点法。针对复杂弹塑性问题，材料的塑性和应力波传播路径上材料特性的任意变化引起的应力波的反射，都导致难以推导准确的传输边界公式。将粘性边界和锥形粘弹性边界应用于土体的两种弹塑性模型——MC 模型和密度相关本构模型，发现粘性边界在较低冲击荷载条件下计算结果与对称边界和锥形粘弹性边界差异不大，而在较大冲击荷载条件下前者则显著优于后两者。针对密度相关本构模型，传输边界即使不考虑塑性，也需要修正其表达式的系数。