计算机病毒传播模型及脉冲控制相关问题分析

我们研究计算机病毒传播的终极目的就是为了控制病毒传播的传播。为此，有必要采用有效的控制来抑制病毒的扩散。而常用的控制手段主要有：最优化控制和脉冲控制。而脉冲控制的实际意义可能更加重大，因为我们更新杀毒软件不太可能是连续时间的，而通常是周期性地更新（比如，一天或一周）。因此，采用定时刻的脉冲控制可以很好地对应杀毒软件的周期性的更新行为。本章就是在一个已有的时滞 SIR 模型的基础上建立了定时刻的脉冲控制模型。
1 绪 论

毫无疑问，计算机（Computer）是上个世纪最伟大的发明之一。1946 年，在宾夕法尼亚大学莫尔电工学院的实验室里诞生了世界上第一台电子数字计算机——“ENIAC”。这台占地 170 多平方米的计算机在今天看来，无疑是个“巨无霸”。恐怕计算机之父——冯·诺依曼也没想到，在接下来的短短几十年里，计算机给人类社会带来的巨大变革。从高能物理、工程设计、地震预测、气象预报、航天技术、计算力学、计算物理、计算化学、生物控制论等科学计算，到企业管理、物资管理、报表统计、情报检索等信息管理，从电路、机械、土木、建筑、服装等设计，到网上购物、网上炒股、网络聊天等等，计算机已然渗透到了从科研到日常生活的各个领域。毫不夸张地说，我们的世界就是计算机的世界，计算机已成为时代的“运筹者”。不容置疑，计算机在各个领域的应用不仅大大提高了生产效率，给人们带来各种便利，同时也极大地推动了社会文明和进步。

1.1 计算机病毒

1.1.1 计算机病毒与生物病毒

在神奇的大自然中，存在着一类生物，它们结构简单，形体微小，通常情况下并不具有生命特征，却能在依附其它生物体后进行大量繁殖；它们就是病毒。由于病毒离体条件下是以无生命的生物大分子状态存在的，因而可以说病毒是介于生物与非生物之间的物质。尽管病毒形态微小（直径一般在 20~200nm），其危害却不容小觑。如近年来的甲型 H1N1、SARS、禽流感、AIDS 等等都是由于病毒感染引起的。而历史更有无数人死于病毒感染：如墨西哥在 1520 年到 1570 年的50 年内就有近 2000 万人死于天花病毒。病毒之所以能有如此之大的危害，其中最重要的原因就是病毒具有传染性。生物界里存在的病毒对应到计算机网络世界就是计算机病毒（ComputerVirus）。正是由于计算机病毒在传染性等方面与生物病毒有着惊人的相似，人们才在计算机术语中引入了“病毒”一词。计算机病毒与生物病毒的比较如表 1.1 所示。

1.2 计算机病毒传播动力学

现代社会的进步、科学的发展，使得社会生活的方方面面都离不开计算机和网络。人们在享受计算机和网络带来的便捷的同时，也遭受了计算机病毒攻击带来的威胁。如何保障计算机和网络的安全，如何有效防治计算机病毒成为社会和学界共同关注的焦点。为了有效防治计算机病毒，我们首先对“防治”要有正确的认识：第一点，不可能彻底防治所有病毒；第二点，反病毒与病毒的较量是场持久战。第一点认识是基于这样一个事实：不存在能够对抗所有病毒的杀毒软件。而病毒与反病毒技术的交替发展，使得一方长期占优势的可能性微乎其微。众所周知，杀毒软件是对抗计算机病毒最直接有效的工具（常见杀毒软件见图 1.3）。而杀毒软件的工作原理是通过提取程序的特征代码和行为并将其与病毒库中的病毒进行比较，进而判断程序是否是病毒。这里的大前提是已经知道了病毒的特征代码，因而当其面对未知病毒时常常束手无策，尽管这些未知病毒也许仅仅是已知病毒的变种。面对未知病毒的威胁，病毒专家们唯有重新着手提取其特征码，然后更新病毒库，最后才能对其进行检测、清除。但此时，病毒可能已经在网络上大规模爆发，并造成了无法估量的损失。由此可见，尽管杀毒软件作为检测、清除已知病毒的工具十分有效，然而，当其在预防新型病毒的方面相当乏力；而事实上，“预防”病毒的意义和价值往往比“查杀”病毒的意义和价值更加重大。所以有必要引入新的理论和方法来指导我们“预防”计算机病毒。

2 预备知识

本章主要介绍论文涉及主要数学知识，内容综合了[103-104]等文献。

2.1 动力系统

动力系统，通俗来讲，就是描述了事物状态随时间演化的过程。诚如哲学里讲到的“运动是绝对的、永恒的”，如何认识周围运动变化的事物一直是人类在漫漫历史长河中一项重要使命。可以说，动力系统的出现，顺应了人们认识运动事物的需要。中国道家有句古话叫——“万变不离其宗”。说明了事物在变化之中往往也具有其不变的性质。研究各种连续性的变化下不变的性质正是拓扑学的范畴。拓扑学，作为研究事物定性性质的有力数学工具，给出了如下定义。
2.2 微分动力系统

本文中研究的计算机传播模型均用微分方程进行描述的，相关研究理论和方法都是借助了微分方程的相关理论。而且只有站在微分方程理论的高度来看待计算机病毒传播模型，才能深刻洞悉其基本性质与特点。因此，本节主要介绍微分方程的有关知识。

3 反制措施和病毒的混合 SICS 模型 .......................................................................... 25

3.1 引言 ................................................................................................................. 25

3.2 模型建立 ......................................................................................................... 25

3.3 模型分析 ......................................................................................................... 26

3.4 数值实例与分析 ............................................................................................. 31

3.5 本章小结 ......................................................................................................... 34

4 带“捕食者”程序的 SIPS 模型 ................................................................................. 35

4.1 引言 ................................................................................................................. 35

4.2 模型建立 ......................................................................................................... 35

4.3 模型分析 ......................................................................................................... 37

5 带移动介质的 SIR 模型 ............................................................................................. 45

5.1 引言 .................................................................................................................. 45

5.2 模型建立 .......................................................................................................... 45

5.3 模型分析 .......................................................................................................... 47

5.4 数值实例 .......................................................................................................... 52

5.5 本章小结 .......................................................................................................... 54

6 一个时滞 SIR 模型的脉冲控制 ................................................................................. 57

6.1 引言 .................................................................................................................. 57

6.2 模型建立 .......................................................................................................... 57

6.3 模型分析 .......................................................................................................... 58

6.4 数值实例 .......................................................................................................... 63

6.5 本章小结 .......................................................................................................... 66

6 一个时滞 SIR 模型的脉冲控制

6.1 引言

我们研究计算机病毒传播的终极目的就是为了控制病毒传播的传播。为此，有必要采用有效的控制来抑制病毒的扩散。而常用的控制手段主要有：最优化控制和脉冲控制。而脉冲控制的实际意义可能更加重大，因为我们更新杀毒软件不太可能是连续时间的，而通常是周期性地更新（比如，一天或一周）。因此，采用定时刻的脉冲控制可以很好地对应杀毒软件的周期性的更新行为。本章就是在一个已有的时滞 SIR 模型的基础上建立了定时刻的脉冲控制模型。

7 总结与展望

当前，“大数据”已然成为各个国家、各个产业的重要话题，大力发展大数据已经上升成为各个国家的国家战略。大数据时代的到来，网络安全问题必然成为相关领域的关注重点，也引起了相关国家的重视。2014 年 2 月 27 日，中央网络安全和信息化领导小组成立，由习近平亲自担任组长，由此可见国家层面对网络安全的重视程度。而在众多网络安全性问题之中，如何应对来自计算机病毒的威胁是重中之重。作为计算机病毒学的一个重要分支，计算机病毒传播动力学得到越来越多的学者的重视。计算机病毒传播动力学致力于建立有效刻画病毒传播规律的数学模型，通过数学分析方法，找到影响其传播的种种关键因素。基于此，本文提出了三个动力学模型，研究了各种因素影响下，计算机病毒的传播行为。