基于结构工程视角下类桁架结构拓扑优化求解方法探讨

 本文采用类桁架结构拓扑优化方法，重点研究了点式玻璃幕墙钢桁架腹杆布置优化问题、改进了优化平面类桁架连续体的数学规划方法、空间类桁架结构应力约束结构材料体积（重量）最小优化问题的优化准则法以及平面和空间RC 结构应力约束配筋体积（重量）最小优化方法。
第 1 章 绪论

1.1 研究背景

  随着现代科学的发展和生产技术的进步，人类不断拓展自己的生存空间。航空航天、建筑、造船、机械制造等众多行业的生产实践活动都离不开结构设计，结构优化的研究范围也随之逐步扩大。工程结构对自重、强度、刚度及稳定性等各项性能的要求越来越高，尤其是航空航天等领域。如何在满足各类约束的条件下，设计出某项或多项性能最优的工程结构对工程师和力学工作者而言既是挑战也是机遇。传统的结构设计是一种基于经验的设计，在一定程度上可以说是一种艺术。它要求设计人员根据自身经验做出设计方案[1]。结构设计的优劣往往取决于设计师的经验及水平，且设计周期长、效率低下。一般情况下，设计者首先根据自身经验给出一个初始设计方案，并进行结构分析。然后对照相关设计规程、规范对初始设计方案进行改进。如此反复多次，得到相对合理的结构设计。这种反复次数也不会太多。为了简化设计，往往在设计过程中引入许多假定和经验公式。这些导致设计结果准确性较差，不是最优设计。结构优化设计以结构分析方法、数学规划理论和计算机技术等学科为基础，在满足强度、刚度、稳定性、疲劳和动力等约束条件下，使结构某项或多项性能达到最优。在传统的结构设计方法中，设计人员往往被动地对设计方案进行反复地分析与校核，以便确定一个相对合理的设计。结构优化设计方法将优化过程融入设计过程之中，可以让设计者主动地通过算法搜索最优设计变量以达到结构优化设计的目标。结构优化问题一般可以分为：尺寸优化、形状优化和拓扑优化[2]。其中，最具潜力和最有价值的是拓扑优化层次。由于它的高难度和复杂性，拓扑优化问题一直是结构优化领域中最具挑战性的研究方向。经过三十多年的发展，结构拓扑优化方法已经成为结构设计的有效工具之一。目前已经广泛应用于航空航天、汽车、建筑和土木等领域。捷豹（Jaguar）公司利用结构拓扑优化技术对汽车进行综合优化，提升了设计效率和质量[3]。在航空航天工业中，在不影响使用的情况下，减轻航空器自重是一个永恒的课题。传统的设计方法已经无法满足这方面的需求。空中客车（Airbus）等三家公司的设计人员采用结构拓扑优化方法对空客 A380 机翼前缘肋在应力和屈曲约束下进行优化设计，为每架飞机减重达 500 公斤左右[4]。在建筑与土木工程领域，拓扑优化思想也引起设计师的广泛关注。深圳中信金融中心项目通过优化 斜 交 网 格 布 置 使 结 构 刚 度 最 大 化 [5] ， 如 图 1.1 （ 源 自 搜 建 筑 网www.soujianzhu.cn）所示。另外，卡塔尔会议中心项目也采用了结构拓扑优化技术，如图 1.2（源自独创意网 www.duidea.com）所示。结构拓扑优化技术在建筑方面的应用减少了城市中人为的工业化痕迹。采用该技术设计出的建筑物具有结构形式新颖、立面自然美观等特点，达到了建筑结构与自然环境的和谐统一。

1.2 国内外研究现状

  结构拓扑优化主要分为连续体结构拓扑优化和杆系结构的拓扑优化。其中，杆系结构的拓扑优化主要采用基结构方法。目前，连续体结构是结构拓扑优化的主要研究对象。连续体结构拓扑优化主要分为基于 Michell 桁架理论的解析法和数值方法。Michell 桁架理论具有坚实的理论基础和重要的理论研究价值，是验证结构拓扑优化数值方法正确与否的最可靠标准之一。然而，采用 Michell 桁架理论求解结构优化问题十分困难，且无通用求解方法。截止目前为止，利用解析方法仅获得一些简单结构的最优拓扑。此外，采用 Michell 桁架理论得到的优化结果是一种非均匀各向异性连续体，并不能直接应用于实际工程。随着计算机科学、数学和计算力学的不断发展，人们逐渐转向研究数值优化方法。1.2.1 结构拓扑优化数值方法研究现状在过去几十年中，正是由于 Rozvany，Olhoff 和 Bendsøe 等众多学者长期不懈的研究[20-23]，才使得结构拓扑优化在理论研究和实际应用方面取得了令人瞩目的成就。相较结构尺寸优化和形状优化，拓扑优化没有确定的优化变量。此外，由于结构存在无穷个潜在拓扑，很难用有限个优化变量描述。因此，结构拓扑优化是结构优化领域最具挑战性的研究工作之一[24]。到目前为止，众多学者先后提出许多具有代表性的结构拓扑优化数值方法。受到复合材料领域均匀化理论的启示，1988 年，Bendsøe 与 Kikuchi[22]提出用于求解连续体结构拓扑优化问题的均匀化方法（Homogenization Method）。这掀开了连续体结构拓扑优化的新篇章。该方法将微孔结构引入连续体中，微孔尺寸和方位作为优化设计变量。微孔尺寸和方位的改变实现材料的增加和删减。通过求解相对容易的尺寸优化问题解决了困难度较大的结构拓扑优化问题[25-27]。此后，众多学者对均匀化方法提出改进并进行了广泛的应用研究
第 2 章 准则法优化类桁架连续体及其在幕墙工程中的应用

2.1 引言

  作为一种建筑物外围护结构，点支承玻璃幕墙具有通透性好、构件精美、结构美观等一系列优点。目前，点支承玻璃幕墙已广泛应用于会展中心、机场航站楼、火车站等大型公共建筑中[151]。根据材料不同，点支承玻璃幕墙支承体系一般可分为玻璃肋支承结构、索桁架支承结构、索网支承结构及钢结构支承结构等。点支承玻璃幕墙支承结构中最常见的是钢桁架结构。随着高强度钢材的广泛使用，点支承玻璃幕墙钢桁架的侧向刚度往往成为设计中的主导因素。钢桁架侧向刚度最大化被视为最重要的设计目标。良好的结构性能可以通过结构形状优化和截面尺寸优化实现。但是，上述两种方法对结构的优化程度是局部性的、有限的，只有结构拓扑优化才能极大地改善结构性能。本章采用类桁架结构拓扑优化方法研究点式玻璃幕墙钢桁架结构最小柔度优化问题。通过优化钢桁架的腹杆布置使得钢桁架跨中位移最小。将桁架弦杆和部分腹杆作为初始结构并指定其截面参数。拓扑优化设计域为初始结构杆件所围绕的矩形区域。在设计域内填充平面二相正交类桁架连续体，用于优化钢桁架的腹杆布置。在水平集中力作用下，对初始结构和平面类桁架连续体所构成的组合结构进行力学分析。以平面类桁架材料结点处的杆件密度和方位角为优化变量，以整个组合结构的柔度作为目标函数。采用满应力准则求解类桁架结构体积约束结构柔度最小优化问题，最终获得钢桁架腹杆的最优布置，从而实现点支承玻璃幕墙钢桁架侧向刚度最大化。

2.2 平面二相正交类桁架材料模型

  从理论上讲，拓扑优化结构是非均质各向异性连续体。在该连续体内，任意一点处都分布有无间隙的致密杆件。不同点处的杆件密度和方位角都不相同，该连续体结构通常被称为类桁架连续体（Truss-like Continuum）。如前所述，采用解析法求解类桁架结构非常困难，因此，通常采用数值优化方法优化类桁架连续体。下面简要介绍一下平面二相正交类桁架材料模型构造过程[12]。在单向受力的类桁架连续体中任取一微元体，如图 2.1 所示。相互平行的一组致密类桁架杆件分布于弱的基材中。假定微元体内所有杆件横截面面积之和为 dAm，杆件横截面正应力为 m 。杆件和基材横截面面积之和为 dA，杆件和基材横截面平均正应力为 。根据力的平衡关系有

第 3 章 改进数学规划方法优化类桁架连续体

3.1 引言

3.2 结构优化问题常用数学规划方法

3.3 结构有限元分析与灵敏度分析

3.4 结构优化问题列式

第 4 章 多工况应力约束类桁架连续体优化准则法

4.1 引言

4.2 多工况应力约束平面结构体积最小问题

4.3 多工况应力约束空间结构体积最小问题

4.4 本章小结

第 5 章 多工况下钢筋混凝土结构配筋优化

5.1 引言

5.2 钢筋与混凝土复合材料的刚度矩阵

5.3 钢筋与混凝土复合材料的主应力与主应力方向

第 5 章 多工况下钢筋混凝土结构配筋优化

5.1 引言

  在结构设计中，钢筋混凝土结构一般分为 B 区和 D 区。在 B 区，结构设计建立在平截面假定的基础上。换言之，钢筋混凝土梁横截面平均正应变沿梁截面高度方向近似按直线分布。经典弯曲理论和一般剪切设计方法是适用的。然而，在 D 区，受力比较复杂，经典的弯曲理论和一般的剪切设计方法不再适用。一般采用基于试验的半理论、半经验设计方法。这可能会导致设计要么偏于保守，要么就偏于不安全。本章通过结构拓扑优化方法和钢筋混凝土结构的基本特征，建立多工况应力约束钢筋混凝土结构配筋优化问题模型。探讨钢筋混凝土结构普遍适用的设计方法。目前，钢筋混凝土结构配筋优化大多只涉及单工况情形。然而，在实际工程中，结构往往承受多个工况作用。相较单工况而言，多工况下钢筋混凝土结构配筋优化更加复杂，也更加符合结构设计的需求。因此，探讨多工况下钢筋混凝土结构配筋优化设计方法是十分必要的。本章内容是对先前研究工作的进一步拓展[19]，仍然以类桁架材料模型为研究对象，以有限元计算模型结点处的杆件密度和方位作为设计变量，研究多工况应力约束钢筋体积最小配筋优化问题。

5.2 钢筋与混凝土复合材料的刚度矩阵

  假设素混凝土结构内满布类桁架材料，以模拟实际工程中的钢筋混凝土结构。对于钢筋混凝土空间结构和平面结构，分别采用 8 结点立方体单元和 4 结点矩形单元剖分设计域。以单元结点处相互正交类桁架杆件的密度及其方位作为优化设计变量，以钢筋和混凝土的主应力分别小于材料的许用应力作为约束条件，以钢筋体积（重量）最小为优化目标。通过求解多工况应力约束钢筋体积（重量）最小优化问题，得到多工况下钢筋混凝土结构最优配筋布置。钢筋混凝土复合材料单元刚度矩阵可以认为是两种材料单元刚度矩阵的叠加

第 6 章 结论与展望

  本文采用类桁架结构拓扑优化方法，重点研究了点式玻璃幕墙钢桁架腹杆布置优化问题、改进了优化平面类桁架连续体的数学规划方法、空间类桁架结构应力约束结构材料体积（重量）最小优化问题的优化准则法以及平面和空间RC 结构应力约束配筋体积（重量）最小优化方法。主要研究结论如下：

（1）利用类桁架拓扑优化方法优化点式玻璃幕墙钢桁架腹杆布置，得到了具有最大侧向刚度的点式玻璃幕墙钢桁架。结构设计软件分析表明：相较实际工程中常用桁架结构，本文的优化桁架结构不仅侧向刚度最大，还具有更小、更均衡的应力比。优化的桁架结构能更加充分地利用材料强度。

（2）提出了在优化过程中对杆件密度和方位角分别单独优化的思想，改进了优化平面类桁架连续体的数学规划方法。利用傅里叶级数和极值条件建立了杆件方位角的优化迭代公式。采用 MMA 方法优化杆件密度。典型算例表明由本文方法得到的优化类桁架结构与解析解十分接近。

（3）基于单工况的满应力准则法，利用方向刚度包络线的概念，建立了多工况应力约束体积最小空间类桁架结构优化准则法。提出了利用方向刚度包络面方程的特征值优化杆件密度和方位的方法。并从数学上证明了其合理性。

（4）基于单工况的钢筋混凝土配筋优化准则和多工况应力约束类桁架结构优化准则法，提出了多工况下钢筋混凝土结构配筋优化方法。相较生成“拉压杆模型”的配筋方法，类桁架结构配筋优化方法可以直接得到结构最优配筋布

置。