基于二阶锥规划有限元法的岩土体稳定性分析

在 FEM-SOCP 框架下，将 Cosserat 连续体的增量弹塑性控制方程构造成SOCP 问题，建立了适用于 Cosserat 连续体的 CosFEM-SOCP 法，并分别给出了力和位移条件下的 CosFEM-SOCP 方法的求解格式。CosFEM-SOCP 法可以利用标准的数学优化器进行求解，规避了复杂的平衡迭代和应力积分算法。为验证CosFEM-SOCP 法和所编制程序的正确性，以弹性圆孔的应力集中问题为例，将CosFEM-SOCP 方法计算获得的应力集中因子与解析解及其它数值解进行了对比，相对误差不超过 1.6%，验证了 CosFEM-SOCP 法的正确性；
第 1 章 绪论

1.1 研究背景及意义

岩土体稳定性及应变局部化研究一直是岩土工程领域的经典课题。我国正处于岩土工程建设的快速发展时期，许多土石坝、长大隧道和边坡支护等岩土工程的地质条件和相关结构类型日趋复杂。为了适应岩土工程建设的快速发展，岩土体稳定性及其渐进破坏过程的理论分析和数值仿真技术的相关研究，对准确评价岩土工程问题安全性和可靠性尤为重要。针对岩土体稳定性问题，传统极限平衡法无法模拟岩土体的变形和破坏过程，有限元强度折减法能够弥补这一不足，但其需要设置较大的最大允许非线性迭代次数和反复试算，计算耗时严重[1]。尽管一些优化技术[2]（如双网格和广义搜索算

法）和先进的线性迭代求解器[3]已经应用到岩土体稳定性分析中，来加速求解安全系数，但基于传统有限元框架，需要平衡迭代和应力积分[4]，算法复杂度较高，如图 1-1 所示。若把增量弹塑性的控制方程塑造成标准的数学优化格式，可明显降低计算框架的复杂度，并且能够借助高效的数学优化器进行求解[5]。

1.2 研究现状

本节主要综述岩土体稳定性、应变局部化及二阶锥规划有限元法的发展历史及研究现状。

1.2.1 岩土体稳定性分析方法及研究现状

1.2.1.1 岩土体稳定性分析方法

目前岩土体稳定性分析方法可归纳为四大类[10]：极限平衡法、极限分析法、位移有限元法（包括强度折减法和重力加载法）和滑移线法。边坡稳定性、地基承载力及土压力这三大类岩土体问题，都可以放在统一的数值框架（如极限平衡法、极限分析法或有限元法）中进行分析。（1）极限平衡法

科研人员和工程师们已经提出了多种极限平衡法，这些方法或多或少都很相似，之间的差别主要取决于如下几个方面：1）是否考虑了条分的水平向、竖向力的平衡和力矩平衡；2）是否考虑了条分间的所有受力（即法向力和切向力）；3）条间法向力和切向力之间满足的函数关系[11]；其基本思想是首先假定滑裂面，然后利用某一极限平衡方法（如 Bishop 法或 Morgenstern-Price 法）确定当前滑裂面对应的安全系数，然后找到所有潜在滑裂面的安全系数，其中最小的安全系数对应的滑裂面即为最危险的滑裂面。极限平衡法的优势在于力学原理简明，易于理解，方便工程师使用。经过几十年的发展，已经衍生出多种分析方法，如 Fellenius法[12]、Bishop 法[13]、Janbu 法[14]、Morgenstern-Price 法[15]、Spencer 法[16]及广义极限平衡 GLE 法[17]等。国内学者也对极限平衡法的发展做出了重要的贡献，如陈祖煜等[18]、郑宏[19]、邵龙潭和李红军[20]等。尽管极限平衡法应用广泛且易于理解，但处理复杂岩土体问题时具有一定的局限性。例如，极限平衡法需要假定滑裂面的位置和形状，无法反映岩土体的变形和渐进破坏过程。另外，极限平衡法忽略了条分本身的变形，该假设与实际中土的受力变形特性相差较大。（2）极限分析法极限分析方法是假定岩土材料为理想刚塑性体，基于连续介质力学中的虚功率原理建立起来的分析方法，包括上限定理和下限定理。通过构建静力许可的应力场或运动许可的速度场来寻求极限荷载的上限解和下限解，而问题的真正解答在上限解和下限解之间。下限定理从满足静力允许的应力场出发，满足静力平衡条件、屈服准则及应力边界条件；上限法从满足机动允许的速度场出发，需要满足流动法则及速度边界条件[10]；1975 年，Chen[21]最早将极限分析理论应用于岩土体的稳定性分析中。此后，许多专家学者将极限分析方法进一步推广，例如Sloan[22]、陈祖煜[23]、杨小礼[24]等。

第 2 章 基于二阶锥规划理论的有限元法 FEM-SOCP

本章首先对二阶锥规划的定义、经典连续体基本控制方程及 Hellinger-Reissner混合变分原理做了简要介绍。然后通过变量替换的方式将 Mohr-Coulomb 强度准则构造成二次锥约束，进而把增量弹塑性有限元控制方程塑造成标准的二阶锥规划格式，建立适用于经典连续体的二阶锥规划有限元法 FEM-SOCP，并分别给出力和位移边界条件下的 FEM-SOCP 求解格式。针对岩土体稳定性问题，在 FEM-SOCP框架下，结合强度折减技术，进而提出一种新的 SSRFEM-SOCP 法；针对非关联塑性岩土体变形分析，提出一种误差自适应的时间离散法，可以实现在相关联塑性的框架下，经过几次时间步迭代便可获得非关联塑性的解。最后利用柔性基础荷载位移响应问题对 FEM-SOCP 法和所编制程序的正确性进行验证。

2.1 二阶锥规划的定义

一个标准的二阶锥规划问题可表示为

2.2 经典连续体基本控制方程

对于平面应变问题，经典连续体理论中一点的位移、应力和应变的矩阵形式表示为

第 3 章 基于 FEM-SOCP 的岩土体稳定性及变形分析 ...................................33

3.1 土质边坡稳定性分析 ............................................................................... 33

3.2 一个修正 Davis 公式及其在边坡稳定性分析中的应用........................ 43

3.3 基底粗糙刚性条形浅基础地基极限承载力分析 ................................... 55

3.4 基于 FEM-SOCP 的岩土体非关联塑性变形分析.................................. 60

3.5 本章小结 ................................................................................................... 64

第 4 章 基于 Cosserat 连续体理论的二阶锥规划有限元法 CosFEM-SOCP.. 67

4.1 Cosserat 连续体基本理论及控制方程..................................................... 67

4.2 Drucker-Prager 强度准则的二次锥约束格式.......................................... 72

4.3 应变软化 ................................................................................................... 75

4.4 有限元离散 ............................................................................................... 76

第 5 章 基于 CosFEM-SOCP 的岩土体应变局部化及稳定性研究................. 85

5.1 柔性基础荷载位移响应 ........................................................................... 85

5.2 单轴压缩问题 ........................................................................................... 87

5.3 土质边坡稳定性及应变局部化分析........................................................97

5.4 本章小结..................................................................................................103

第5章 基于CosFEM-SOCP的岩土体应变局部化及稳定性研究

将 CosFEM-SOCP 法应用于岩土体的应变局部化及稳定性分析中，分别考虑了理想弹塑性模型及软化模型。通过单轴压缩试验，研究剪切模量比c、内部特征长度 lc 及软化模量 hpc 对岩土体剪切带及荷载位移曲线的影响，并调研了内部特征长度与单元尺寸的选择关系。最后，基于土质边坡算例，研究了内部特征长度对边坡渐进破坏过程中剪切带及稳定性的影响。

5.1 柔性基础荷载位移响应

以柔性基础作用下的相关联塑性地基算例为例，研究 Cosserat 连续体的荷载位移响应。作用在地基上的条形基础宽度 W=2m，地基的几何尺寸与有限元网格如图 5-1 所示，共 960 个单元。地基土采用理想弹塑性 Drucker-Prager 强度准则，基本材料参数为：弹性模量和泊松比分别为 E=10MPa，=0.3，粘聚力 c=10kPa，内摩擦角=20°，考虑无自重和有自重两种情况，即=0 和=20kN/m3。对于 Cosserat连续体，为了研究不同内部特征长度 lc 对位移荷载曲线的影响，分别取 lc=0.0m、0.2m、0.3m 和 0.5m。选取柔性地基的左上角 T 点为位移特征点，逐渐增加外荷载q，即可获得该点的位移荷载响应。

第 6 章 结论与展望

6.1 主要研究结论

基于二阶锥规划和有限元理论，将经典连续体和 Cosserat 连续体的增量弹塑性分析构造成标准的二阶锥规划格式。分别提出了适用于经典连续体的二阶锥规划有限元法 FEM-SOCP 和适用于 Cosserat 连续体的二阶锥规划有限元法CosFEM-SOCP，并将其应用于岩土体的稳定性和应变局部化分析中。主要研究结论如下：

（1）将岩土体弹塑性问题构造成基于有限元框架的二阶锥规划问题，建立了适用于经典连续体的 FEM-SOCP 法，可利用标准的数学优化器进行求解，规避了复杂的平衡迭代和应力积分算法。采用柔性基础作用下的地基承载力算例对FEM-SOCP 方法进行验证，研究表明 FEM-SOCP 法计算获得的荷载位移曲线与传统 FEM 法的计算结果基本一致，验证了 FEM-SOCP 法和所编制程序的正确性；

（2）采用 FEM-SOCP 法进行了岩土体稳定性和变形分析。将 FEM-SOCP 方法与强度折减技术相结合，提出基于二阶锥规划理论的有限元强度折减法SSRFEM-SOCP。与传统 SSRFEM 相比，新方法获得的塑性区更加平滑；针对非关联塑性岩土体稳定性分析，原始 Davis 公式会导致相对保守的稳定性计算结果，尤其对于高内摩擦角和低剪胀角的情况。通过基于应力圆和破坏包线的关系对Davis 公式进行改进，提出一种修正 Davis 公式，根据边坡稳定性分析结果，推荐选取修正 Davis 公式中的经验参数=0.3；针对非关联塑性变形分析，提出一种误差自适应的时间离散法，可以实现在相关联塑性框架下经过几次时间步迭代便可获得非关联塑性的解，数值分析表明，时间步因子取=0.1~0.4 通常可以获得精度较高的解；

（3）在 FEM-SOCP 框架下，将 Cosserat 连续体的增量弹塑性控制方程构造成SOCP 问题，建立了适用于 Cosserat 连续体的 CosFEM-SOCP 法，并分别给出了力和位移条件下的 CosFEM-SOCP 方法的求解格式。CosFEM-SOCP 法可以利用标准的数学优化器进行求解，规避了复杂的平衡迭代和应力积分算法。为验证CosFEM-SOCP 法和所编制程序的正确性，以弹性圆孔的应力集中问题为例，将CosFEM-SOCP 方法计算获得的应力集中因子与解析解及其它数值解进行了对比，相对误差不超过 1.6%，验证了 CosFEM-SOCP 法的正确性；